CONDITIONS QUI DÉTERMINENT UN PLAN

quelconque A et par le point O menons un plan R

perpendiculaire sur cette droile. Il coupe le plan Q

suivant OB. L'angle

droit AOB se projette

suivant Tangle donné

aob.

On peut, du reste, se rendre compte, à l'inspection d'une simple figure, que la projection de l'angle droit peut varier de o à 180* (fig. 8).

L'angle droit CAB se projette en CaB, La perpendiculaire Ao sur BG se projette suivant la perpendiculaire ao sur BC; on a o^ < oA, d'où les relations suivantes entre les angles :

GrtB>CAB C^r/<GAD.

Si l'on fait tourner le plan de l'angle droit autour de BC, on voit que, lorsque le plan coïncide avec le plan de projection, les deux angles CaB, Cad sont

droits; puis l'un augmente, l'autre diminue et, lorsque le plan de l'angle est perpendiculaire au plan de projection, CaB devient égal à 180** et l'angle Cad égal à zéro.

On peut également s'en rendre compte en laissant fixe le plan de l'angle droit et faisant varier le point A sur le cercle décrit sur BC comme diamètre ; l'angle

By

Fig. 8.

lo PROJECTION D'UN ANGLE DROIT

G«B varie de i8o^ à 180** en passant par un minimum et Tangle Cad de o® à o** en passant par un maximum, égal au minimum précédent.

Théorème. — La condition nécessaire et suffisante our qu'un angle droit se projette suivant un angle droit, c'est qu'un de ses côtés soit parallèle au plan de projection,

i^ La condition est suffisante. — Soit un angle droit AGB, dans lequel GB est parallèle au plan de projection et, par suite, à sa projection cb (fig. 9). Le côté GB est perpendiculaire à AG par hypothèse ; il est perpendiculaire à la projetante Gc puisqu'il est parallèle à un plan auquel Gc est perpendiculaire ; GB est donc perpendiculaire au plan AGc, plan projetant AG ; il en est de même de sa parallèle cb ; c6, étant perpendiculaire au plan AGrtc, est perpendiculaire à ca^ donc Tangle c est droit.

2"* La condition est nécessaire, — Par hypothèse, les angles en G et en c sont droits. Supposons que

AG ne soit pas parallèle au plan de projection, supposé horizontal, nous allons démontrer que GB Test. Menons GD parallèle à ca (fig. 9). La droite ac est perpendiculaire à cb par hypo- Fig. 9. thèse ; elle est perpendicu-

laire à cG, puisque Gc est perpendiculaire au plan horizontal dans lequel se trouve ac. ; donc ac et, par suite, sa parallèle GD sont perpendiculaires au plan Gci, qui n'est autre que le plan projetant GB ; GB est donc perpendicu-

PENTE D'UN PLA7V ir

laire à CD, qui passe par son pied dans le plan ; GB est perpendiculaire à CA par hypothèse ; par suite, CB est perpendiculaire au plan ACDea qui contient ces deux droites et qui est vertical. BG, étant perpendiculaire à un plan vertical, est une horizontale.

Oraduation de Vèchelle de pente. — Si Ton gradue la ligne de plus grande pente du plan, comme une droite ordinaire, en marquant les points à cote ronde, tels que 2, 3, 4^ ^t les horizontales du plan passant par ces points seront projetées suivant les perpendiculaires A^, A3, A^, Aj à la ligne de plus grande pente (fig. 10).

Pente d'un plan. — C'est la pente de la ligne de plus grande pente du plan. L'angle du plan avec le plan horizontal est, par définition, l'angle de sa ligne de plus grande pente avec le plan horizontal.

Positions particulières du plan. — Si le plan est parallèle au plan de comparaison, c'est-à-dire horizontal^ tous ses points ont la môme cote ; on n'a pas à le représenter.

Si le plan est perpendiculaire au plan de projection, c'esl-à-dire verticalj il est complètement déterminé par sa trace horizontale, qui représente la projection de toutesles figures tracées dans le plan.

Emploi d'un plan vertical de projection auxiliaire,— Pour effectuer des constructions dans un

ri PLAN VERTICAL AUXILIAIRE

plan vertical défini par sa trace V, on Tamène à I oincider avec le plan de comparaison ou avec un plan parallèle en le faisant tourner de 90° autour de hi droite V. Le point A de ce plan, donné par sa projection a (4,5) vient prendre la position «', la dislance aa' étant égale à 4 m. 5 à Téchelle du dessin ou \\ une autre échelle si c'est nécessaire (fig. n).

Il peut être utile de projeter sur ce plan V des points qui n'appartiennent pas à ce plan. Un point m (3) sera représenté par sa projection w',

telle que, mm' étant perpendiculaire à V, Y^m' = 3, à Téclielle des cotes. C'est la généralisation de ce procédé, consistant à indiquer graphiquement la cote de M, qui constitue la géométrie à deux plans (le projection, lorsque V est fixé en direction. L'avanhige de la géométrie à un seul plan de projection est Je pouvoir choisir le plan vertical auxiliaire où l'on veut; dans la plupart des questions, l'emploi de plans \erticaux auxiliaires est indispensable; nous en verrons de nombreux exemples.

Remarque. — Il n'est pas nécessaire de porter f^rz= 4,5 et Y'j^i' = Z ; on peut aussi amener V à roïncider avec un plan horizontal quelconque, par exemple celui de cote 3 ; le point M est alors projeté vn [j. et A en a^ à la distance aa^ = 4^5 — 3 = i,5

(lig. .1).

Distance de deux points. — Soit ab la projection