SA = S

Le point o est fixe et F8 = AF ; en effet : p?j^ = Fo, et d'autre part ^8^ = Aa= AF.

Donc :

AF = Fo.

Le point S est à égale distance d'un point fixe A et d'une droite fixe 88^ perpendiculaire à AF. Le lieu du point S est une parabole ayant A, sommet de la parabole donnée, pour foyer, et pour directrice la perpendiculaire à AF passant par la symétrique du sommet A par rapport au foyer F.

Fig. 2o3.

Remarque. — La parabole pouvant être considérée comme la limite d'une ellipse ou d'un arc d'hyperbole, le lieu cherché devait être la limite commune du lieu des sommets des cônes contenant une ellipse ou une hyperbole ; on pouvait donc prévoir qu'on trouverait dans ce cas une parabole.

Projection de la section plane d'un cône de révolution sur un plan perpendiculaire à Vaxe. — La projection de la section est une conique du même

Martin et Pernot. Géométrie cotée. i6

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

genre que la section, puisque le nombre des points à Tinfini est* le môme en projection cylindrique que dans l'espace ; la projection admet pour foyer le pied de l'axe du cône, et pour directrice correspondante l'intersection du plan sécant et du plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet.

Prenons comme plan horizontal un plan perpendiculaire à Taxe, et comme plan vertical auxiliaire un plan V mené par Taxe perpendiculairement au plan sécant P, dont la trace verticale est alors P' (fig. 204}.

Soit {jrijn') un point de la section, obtenu au moyen de la génératrice s'g\ sg ; d\ rf, la droite suivant laquelle P' est coupé par le plan horizontal du sommet.

Nous allons montrer que — -r- = C*% ce qui démontrera la proposition énoncée.

CHANGEMENT DE DIRECTBICE 243

Amenons la génératrice SG à être de front; m! vient

On a :

ms == au' et md = w'v.

Menons s'^ parallèle à P' ; les triangles égaux ^^'a

I7ÏS OLU^

et m't/'y donnent 77i'^ = y.p. Donc — -7 == —^ , rapport

constant, c'est-à-dire indépendant de la position de {jnm').

CHANGEMENT DE DIRECTRICE POUR LE CONE ET LE CYLINDRE DE REVOLUTION

Il est peu commode, lorsque Taxe n'est pas vertical, de se servir, comme directrice, d'un cercle déterminé dans la surface par un plan perpendiculaire à Taxe. A l'aide d'un plan vertical auxiliaire, on peut déterminer, dans un plan perpendiculaire à ce plan vertical, une ellipse telle que sa projection horizontale soit un cercle. C'est ce qu'on appelle prendre une directrice de Monge ; la justification de ce procédé se fait habituellement par des considérations relatives à l'intersection des surfaces du second ordre ; nous allons l'expliquer ici par une méthode pure* ment élémentaire.

Cas du cylindre, — Soit un cylindre de révolution ayant pour axe oo graduée ; prenons le plan projetant 00 comme plan vertical auxiliaire ;oo se projette en o'S' [00' = 5, aa = 6) (fig. 2o5).

Inscrivons dans le cylindre une sphère o, a' de rayon égal à celui du cylindre; menons au cercle o' des tangentes verticales qui formeront le contour

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

genre que la section, puisque le nombre des points à Tinfini est* le môme en projection cylindrique que dans Tespace ; la projection admet pour foyer le pied de l'axe du cône, et pour directrice correspondante l'intersection du plan sécant et du plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet.

Prenons comme plan horizontal un plan perpendiculaire à Taxe, et comme plan vertical auxiliaire un plan V mené par Taxe perpendiculairement au plan sécant P, dont la trace verticale est alors P' (fig. 204^ .

Soit [mm') un point de la section, obtenu au moyen de la génératrice s^g\ sg ; d\ d, la droite suivant laquelle P' est coupé par le plan horizontal du sommet.

TïlS

Nous allons montrer que — -7- = C*% ce qui démontrera la proposition énoncée.

CHANGEMENT DE DIRECTBICE 243

Amenons la génératrice SG à être de front; m! vient en [x'.

On a :

et rnd = m'^\

Menons s'^ parallèle à P' ; les triangles égaux ^^'a

et m't/'y donnent m'v = a^. Donc — -j = — — , rapport

constant, c^est-à-dire indépendant de la position de [mm');

CHANGEMENT DE DIRECTRICE POUR LE CONE ET LE CYLINDRE DE REVOLUTION

Il est peu commode, lorsque Taxe n'est pas vertical, de se servir, comme directrice, d'un cercle déterminé dans la surface par un plan perpendiculaire à Taxe. A l'aide d'un plan vertical auxiliaire, on peut déterminer, dans un plan perpendiculaire à ce plan vertical, une ellipse telle que sa projection horizontale soit un cercle. C'est ce qu'on appelle prendre une directrice de Monge ; la justification de ce procédé se fait habituellement par des considérations relatives à l'intersection des surfaces du second ordre ; nous allons l'expliquer ici par une méthode pure* ment élémentaire.

Cas du cylindre. — Soit un cylindre de révolution ayant pour axe oo graduée ; prenons le plan projetant oo comme plan vertical auxiliaire ;-o5 se projette en o'S' [oo' = 5, aa = 6) (fig. 2o5).

Inscrivons dans le cylindre une sphère o, o' de rayon égal à celui du cylindre ; menons au cercle o' des tangentes verticales qui formeront le contour

SECrrom PLANES DES CONES ET CYLINDRES

axe est A'B' et pour laquelle la distance des foyers

est BT', obtenue en menant A'T perpendiculaire à

Taxe.

' L'ellipse déterminée par P^ dans le cylindre verti-

Fig. 2c6.

cal a également pour grand axe A'B' et pour distance focale A'R'.

Si nous démontrons que A'R' = B'T', les deux ellipses seront confondues. Or :

A'R' = A'K' + K'R', A'K' = A'M' = TT, K'R'=H'B'=-=BT.

Donc

A'R' = TV + B'r = T'B'.

L'ellipse du plan P' tracée sur le cône est donc tout entière sur le cylindre vertical ; elle se projette

CHAyGEMENT I>E DIRECTRICE 'i47

horizontalement suivant la trace de ce cylindre, c'està-dire suivant un cercle.

Le même raisonnement s'appliquerait à la courbe située dans le plan dont la trace est GD' ; un cône et un cylindre circonscrits à une même sphère ont donc en comjnun deux courbes planes.

Autre méthode, — On peut dire que les deux projections de la courbe située dans le plan P', considérée comme étant sur le cône et comme étant sur le cylindre, ont en commun les points A et B avec même tangente et les points U et V, projetés en u^ situés sur les génératrices de contour apparent horizontal du cône. Ayant quatre points communs et mêmes tangentes en ces points, les deux projections sont confondues.

Remarque. — Les points u et ç^ projetés en u^ appartiennent aussi à la projection de la section par le plan de bout CD' ; donc les deux droites A'B- , CD' se coupent au point u', projection de l'intersection des courbes de contact du cône du cylindre avec la sphère.

Théorème. — Deux cônes de révolution circonscrits à une même sphère ont en commun deux courbes planes dont les plans passent par la droite d'intersection des plans des courbes de contact.

Prenons comme plan de projection le plan des deux axes (fig. 207).

Soient AB et CD les droites joignant les points de rencontre des géiiératrices de contour apparent du cône S et du cône o-.

La section du cône S par le plan vertical AB a pour grand axe HB = 2a ; kd == ac.

SECriONSJ'LANES DES COJVES ET CYLINDRES

La section du cône S par le même plan a même grand axe et pour distance focale A^ = ac,. Or :

Aa = AQ + Qa,

et comme