AQ = AP

et

Qa = BT=BR = Pi3,

on a :

Aa=AP+ï\3 = A13

ou

La section par le plan vertical AB, perpendiculaire au plan de projection, est donc une ellipse commune

Fig. 207.

aux deux cônes ; on verrait de même que la section par le plan CD est commune aux deux cônes.

Les plans AB et CD se coupent suivant la droite projetée au point I.

Nous allons montrer que I est le point de rencontre

yi^;i«5Çî.,

des traces des plans des courbes de contact QT etPR/

Au point de rencontre des deux courbes planes, qui sont projetées en I, les plans tangents aux deux cônes sont déterminés par les tangentes aux deux courbes planes passant en ces points ; ces tangentes sont les mêmes; les cônes ont donc même plan tangent en ces points.

Nous savons, d'autre part, que les points où les cônes ont même plan tangent sont donnés par les points de rencontre des cercles de contact avec une sphère inscrite dans les deux cônes.

Donc ces points doivent aussi être projetés en 1 et les quatre droites AB, CD, QT, PR se coupent en un même point.

Applications. — Intersection d^une droite et d'un cylindre de révolution.

Soit un cylindre de rayon donné, d'axe od^ o étant dans le plan horizontal, d ayant la cote 3 et une droite a (4), t (o) dont on demande les points d'intersection avec le cylindre (fig, 208).

Prenons comme plan vertical le plan od^ en le rabattant sur le plan horizontal.

L'axe est projeté en ad ; la droite donnée en fa'.

Soit P le plan d'une des courbes planes communes à un cylindre vertical et au cylindre donné, P étant la bissectrice de od' et de la verticale. Prenons cette courbe comme directrice ; elle est projetée horizontalement suivant le cercle o, et verticalement suivant P,

Menons par la droite at^ projetée en aY(6a' = 4) un plan parallèle aux génératrices ; sa trace sur le plan P est projetée suivant i^y, u'y\

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

La trace du plan sécant est la parallèle à Se menée par F. Le problème est toujours possible.

ParaboleMmUe de Vellipse ou de Vhyperbole. — Soit un plan P^ de trace AA^ qui donne une section elliptique; si le point Aj vient en A^, la section est encore une ellipse; si A^ s'éloigne à Tinfini sur Sr, la section elliptique a pour limite une section parabolique située dans le plan de trace T (fig. aoi).

Fi g. 201.

Fig. 202.

Considérons maintenant Thyperbole donnée par un plan P. Sî le point A^ s'éloigne indéfiniment sur SG, à la limite une branche d'hyperbole sçra tout entière rejetée à l'infini; la branche restante aura pour limite la parabole située dans le plan de trace T parallèle à se (fig. 202).

On peut donc considérer la parabole comme la limite d'un arc d'ellipse ou d'un arc d'hyperbole.

Lieu des sommets des cônes de révolution contenant une parabole donnée. — Prenons un plan de projection perpendiculaire au plan P de la parabole dont le sommet est A, le foyer F (fig. 2o3).

Soit S le sommet d'un cône contenant cette para*