AF = F

Le point S est à égale distance d^un point fixe A et d'une droite fixe 53^ perpendiculaire à A F. Le lieu du point S est une parabole ayant A, sommet de la parabole donnée, pour foyer, et pour directrice la perpendiculaire à AF passant par la symétrique du sommet A par rapport au foyer F.

Remarque. — La para- p- .^^j

bole pouvant être considérée

comme la limite d'une ellipse ou d'un arc triiyperbole, le lieu cherché devait être la limite commune du lieu des sommets des cônes contenant unt^ elHjïMe ou une hyperbole ; on pouvait donc prévoir qu'on trouverait dans ce cas une parabole.

Projection de la section plane d'un cône de révo^ lution sur un plan perpendiculaire à l'axe. — La projection de la section est une conique du môme

Martin et Pernot. Géométrie cotée. iG .

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

genre que la section, puisque le nombre des points à l'infini est* le même en projection cylindrique que dans Fespace ; la projection admet pour foyer le pied de Taxe du cône, et pour directrice correspondante l'intersection du plan sécant et du plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet.

Prenons comme plan horizontal un plan perpendiculaire à Taxe, et comme plan vertical auxiliaire un plan V mené par l'axe perpendiculairement au plan sécant P, dont la trace verticale est alors P' (fig. 204).

Soit [min') un point de la section, obtenu au moyen de la génératrice s'g\ sg ; d\ d, la droite suivant laquelle P' est coupé par le plan horizontal du sommet.

Nous allons montrer que — -j = C*% ce qui démontrera la proposition énoncée.

CHANGEMENT DE DIRECTBICE 243

Amenons la génératrice SG à être de front; m! vient en [x'.

On a :

ms = ajjL' et md = m'^\

Menons s'^ parallèle à P' ; les triangles égaux ^s'cl

et m^d'^ donnent 7;îV==a^. Donc — -r = — ^ , rapport

constant, c'est-à-dire indépendant de la position de {mm'y.

CHANGEMENT DE DIRECTRICE POUR LE CONE ET LE CYLINDRE DE REVOLUTION

II est peu commode, lorsque Taxe n'est pas vertical, de se servir, comme directrice, d'un cercle déterminé dans la surface par un plan perpendiculaire à Taxe. A l'aide d'un plan vertical auxiliaire, on peut déteriftiner, dans un plan perpendiculaire à ce plan vertical, une ellipse telle que sa projection horizontale soit un cercle. C'est ce qu'on appelle prendre une directrice de Monge ; la justification de ce procédé se fait habituellement par des considérations relatives à l'intersection des surfaces du second ordre ; nous allons l'expliquer ici par une méthode purement élémentaire.

Cas du cylindre. — Soit un cylindre de révolution ayant pour axe oo graduée ; prenons le plan projetant oo comme plan vertical auxiliaire ;oô se projette en o'ô' [oo^ == 5, aa = 6) (fig. 2o5).

Inscrivons dans le cylindre une sphère o, o' de rayon égal à celui du cylindre; menons au cercle o' des tangentes verticales qui formeront le contour

aS4 SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

c'est-à-dire deux diamètres conjugués de la section.

Les projections seront aussi les diamètres conjugués de la projection» puisque le milieu de la droite se projette en son milieu*

Ces conditions s'appliquent à un cylindre quelconque, de révolution ou non.

Remarque. — Il n'existe pas de plans diamétraux conjugués pour le cône; cela tient à ce que la projection conique ne jouit pas d.çs mêmes propriétés que la projection cylindrique au point de vue de la conservation de la proportionalité des segments. Par exemple, le milieu d'un segment, en projectioiî conique, ne se projette pas au milieu de ce segment, sauf quand le segment est parallèle au plan de projection.

Exemple. — Soit un cylindre donné par son axe oo et son rayon (fig. 211).

Cherchons son intersection avec un plan P donné par son échelle de pente.

Prenons comme plan vertical auxiliaire le plan vertical Où sur lequel Taxe est projeté en 08' {o est le point de cote zéro sur Taxe).

Traçons la sphère inscrite de centre o dont le rayon est égal à celui du cylindre. Imaginons le cylindre vertical circonscrit et prenons pour directrice la courbe située dans le plan de bout D', projetée horizontalement suiviant le cercle o. D' est une bissectrice de oo' et de la verticale op'.

L'intersection de D' avec le plan P est projetée horizontalement suivant la droite tt, obtenue par l'intersection avec D' de deux horizontales du plan Ff, cotées 2 et 3.