ÉLÉMENTS DE LA SECTION

directrice est projetée suivant la droite tï, obtenue par Tintersection des traces horizontales et par Tintersection avec D' d'une droite a/?i,a'77i' du plan sécant.

FijJ. 212.

Détermination d'un point, — Nous allons faire passer des plans auxiliaires par la droite sni'^ s'm'^ qui rencontre le plan de la directrice en [t't).

Soit tp la projection de la trace d'un de ces plans sur le plan de la directrice ; sa trace sur le plan sécant passe par m en projection ; c'est donc la droite pniy qui rencontre la génératrice du point g", par exemple, en un point a appartenant à la section.

Martin et Pernot. Géométrie cotée. 17

2 58 SECTIOyS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

Tangente. — La tangente en g au cercle, projection de la directrice, rencontre t en 9 ; 6« est la tangente au point a.

Points à tangentes parallèles, — Centre, — Diamètres conjugués. — Cherchons le deuxième point où la tangente est parallèle à 9^^ en projection horizontale.

La méthode générale consiste à chercher la droite du plan sécant projetée suivant 9rt ce qui donne la direction que doit avoir la tangente dans l'espace ; puis à mener au cône les plans tangents parallèles à cette droite ; c'est-à-dire tracer par le sommet une parallèle à la direction trouvée, prendre son intersection avec le plan de la directrice et mener de ce point les tangentes à la directrice. .

Dans le cas présent, nous avons choisi à dessein une direction telle qu'on connaisse déjà Tune des tangentes à la directrice, la droite ^g.

Si nous menons par s une parallèle à 6«, elle rencontre hg en i ; c'est de ce point qu'il faut mener l'autre tangente ig^ qui rencontre t. en 9^. En menant par 9j une parallèle à 9«, on obtient a^ à la rencontre de celte droite avec sg^.

aa^ est un diamètre de la section ; le milieu w de aa^ est le centre ; en menant par co la parallèle Wj3 à tangente 9^, on a le diamètre conjugué de aa^.

On peut alors chercher la droite du plan sécant projetée suivant oj|3 et prendre son intersection avec le cône, ou bien chercher les points où la tangente à la projection est parallèle à aa^.

Nous avons employé le premier procédé ; projetons coniquement la droite wj3 sur le plan de la directrice D' ; le point co qui se trouve dans le plan des deux droites sg, sg^ se projette en w^ sur gg^ et le

SECTION HYPERBOLIQUE DU CONE aSij

point X est à lui-même sa projection ; yw^ coupe la directrice en y et y^, les points b et b^ sur les génératrices 5y, 5y^ sont les points cherchés.

L'ellipse-projection est déterminée ainsi par deux diamètres conjugués.

Les points sur les contours apparents sont obtenus en faisant passer des plans auxiliaires par t et les points de contact des génératrices de contour apparent avec le cercle o.

Section hyperbolique du cône de révolution. — Supposons que le plan parallèle au plan sécant mené par le sommet du cône coupe le cône suivant deux génératrices réelles et distinctes ; la section aura deux points à l'infini dans la direction des génératrices trouvées ; on sait que ces génératrices sont appelées directions asymptôtiques et que les asymptotes correspondantes sont les tangentes à Tinfini, c'est-à-dire les intersections du plan sécant et des plans tangents suivant les génératrices directions asymptôtiques.

Nous pouvons déterminer aisément ces asymptotes ; leur point de rencontre est le centre de la section ; l'hyperbole est alors déterminée si Ton en connaît un point.

Détermination des axes. — Les axes de la projecv tion sont les bissectrices des projections des asymptotes ; on a donc immédiatement les axes, connaissant les asymptotes ; pour avoir les sommets sur Taxe réel de l'hyperbole, on cherche la droite du plan sécant qui est projetée suivant cet axe, et on , prend l'intersection de cette droite avec le cône.

On peut aussi chercher les points où la tangente est parallèle à la direction de l'axe non transverse. Le

a6o SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

choix du procédé dépend des constructions déjà effectuées. Ces considérations relatives à la section hyperbolique s'appliquent à un cône quelconque ayant pour directrice une conique.

Section parabolique du cône de révolution. — Pour qu'un plan coupe un cône de révolution suivan une parabole, il faut que le plan parallèle mené part le sommet coupe le cône suivant deux génératrices confondues, c'est-à-dire soit tangent au cône.

La génératrice de contact est une direction asymp-' totique ; l'asymptote, tangente au point à Tinfini sur cette génératrice, est l'intersection du plan tangent et du plan sécant, qui sont parallèles ; cette asymptote est donc rejetée à Tinlini. La section est une parabole dont Taxe est parallèle à la génératrice de contact.

Axe. — Sommet. — Foyer. — Pour avoir Taxe de la projection de cette parabole, il suffît de chercher le point de la section où la tangente, en projection, est parallèle à la perpendiculaire à la génératrice de contact, c'est-à-dire perpendiculaire à l'axe de la parabole. Le point ainsi obtenu est le sommet de la parabole.

On cherche un point de la section ; les propriétés géométriques de la parabole permettent alors de la déterminer.

Soit un cône de révolution d'axe sOy circonscrit à une sphère de centre o (o). Sur le plan vertical sOy s est projeté en s'.

Prenons une directrice de Monge D' (fig. 21 3) projetée horizontalement suivant le cercle o (on a un point de D' à l'intersection du diamètre so avec la polaire de s^).