SECTION PARABOLIQUE BU CONE

Soit sg la projection horizontale d'une génératrice du cône ; le plan tangent le long de cette génératrice est déterminé par SG et la tangente tt^, D' à la directrice.

Coupons par un plan parallèle à ce plan tangent ;

Fig. 2i3.

son intersection avec le cône est une parabole dont Taxe, en projection horizontale, est dirigé suivant sg.

Déterminons le plan sécant par son intersection tt, D' avec le plan D' (ti est parallèle à 7tJ et par la parallèle à SG menée par un point de 7t, D'.

Pour avoir le sommet de la parabole en projection, cherchons le point où la tangente est perpendicu* laire à la direction sg.

Menons par s la parallèle 5S à cette direction, qui rencontre tî^ en i ; en menant du point i la deuxième tangente au cercle G, on obtient la génératrice ^v

a6a SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

dont Fintersection avec le plan sécant donne le sommet cherché.

En effet, il faudrait chercher la droite du plan sécant projetée suivant ^8 et mener au cône les plans tangents parallèles à cette droite, en prenant Tintersection de cette droite avec le plan D' et menant de la projection horizontale de ce point les tangentes au cercle o. Mais une des solutions doit être la tangente tCj ; il suffit donc de mener seulement si en projection horizontale et de prendre le point i d'intersection de ^5 avec tt, ; c'est bien de ce point qu'on doit mener l'autre tangente. On peut encore dire que la trace de la droite projetée suivant sù et dont la direction est dans le plan sécant, ne peut être que sur tt^ trace sur D' du plan parallèle au plan sécant mené par S.

Comme nousnenoiis sommes point encore occupés de la position du plan sécant, on voit que les sommets de toutes les projections des paraboles déterminées par un plan parallèle au plan tangent suivant SG seront sur la génératrice 5y.

Le plan sécant étant fixé comme nous l'avons dit, il suflit de prendre l'intersection de 5y avec ce plan pour obtenir en o- le sommet de la parabole-projection. Le plan tangent dont la trace est /y coupe le plan sécant suivant la droite ôo- parallèle à ^o. C'est la tangente au sommet, et o- est le sommet ; un point quelconque permet alors de déterminer le foyer de la parabole. On a sur l'épure un point en m,

SECTION ANTIPARALLÈLE d'uN CONE OU d'uN CYLINDRE A BASE CIRCULAIRE

Prenons comme plan du tableau le plan mené par la droite so^ o étant le centre d'une section circu-

SECTIONS ANTIPARALLELES

•iô3

Fig. 214.

laire, perpendiculairement au plan de cette section; soit AB la trace de ce plan (fig. 214 et 21 5).

On démontre , en géométrie, qu'un plan dont la trace CD est antiparallèle à AB coupe également le cône suivant un cercle ; il en est de même pour le cylindre, qui n'est d'ailleurs qu'un cône particulier dont le sommet s'est éloigné à l'infini.

Les deux cercles AB et CD sont sur une même sphère dont le contour apparent est le cercle passant par les quatre points A, B, C, D ; ce cercle existe puisque l'on a :