PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE

Tous les points de la courbe génératrice décrivent des cercles ayant leurs plans perpendiculaires à Taxe et leurs centres sur Taxe. Ce sont les parallèles de la surface.

Tout plan passant par Taxe est dit plaîi méridien.

L'intersection avec un tel plan est une méridienne.

Surface de révolution du second ordre. — Elles comprennent, en plus des cônes et cylindres, déjà étudiés :

1° L'ellipsoïde allongé , engendré par une ellipse tournant autour de son axe focal ;

2^ L'ellipsoïde aplati^ engendré par une ellipse tournant autour de son petit axe; (la sphère est un cas particulier des ellipsoïdes) ;

3° Uhyperboloïde à une nappe^ engendré par une hyperbole tournant autour de Taxe qui ne rencontre pas la courbe;

4° L hyper boloïde a deux nappes^ engendré par une hyperbole tournant autour de Taxe qui passe par les sommets réels ;

5** Le paraboloïde^ engendré par une parabole tournant autour de son axe.

Propriété fondamentale des surfaces de révolution. — Théorème. — Le plan tangent en un point d'une surface de révolution est perpendiculaire au plan du méridien qui passe par ce point.

Soit A Taxe de la surface, M un point de cette surface (fig. 222).

Le plan tangent en M contient la tangente MT au parallèle du point M dont le plan est perpendiculaire à Taxe et dont le centre o est sur Taxe.

La droite MT est perpendiculaire au rayon OM;

SURFACES DE REVOLVTIOy

elle est perpendiculaire à A, puisqu'elle est dans un plan perpendiculaire à Taxe ; elle est par suite perpendiculaire au plan méridien AOM et le plan tangent, A qui la contient, est aussi perpen-

diculaire à ce plan.

Corollaire. — La normale MI à la surface en M c'est-à-dire la perpendiculaire au plan tangent en M, est dans le plan méridien; elle rencontre donc Taxe en un point I (qui peut être à Finfîni); on en conclut :

Les normales en tous les points d'une surface de révolution remontrent Vaxe. — On peut démontrer que cette propriété est caractéristique des surfaces de révolution.

Fig. 222.

Cône circonscrit et cône des normales. — Figurons la méridienne de la surface qui passe par M ; MT est la normale à cette méridienne, MS la tangente (fig. 222).

Si Ton imagine que la méridienne tourne autour de A pour engendrer la surface, le point M décrivant le parallèle de centre o, on voit que les points I et S restent fixes.

Le cône de sommet I engendré par la normale MI est dit : cône des normales le long du parallèle.

Le plan MST, qui contient deux tangentes à des courbes tracées sur la surface et passant par M, est le plan tangent à la surface au point M. Les plans tangents tout le long du parallèle sont tangents au cône de sommet S, ayant pour directrice le parallèle

CONE CIRCONSCRIT ET CONE DES NORMALES

du point M. Ce cône de révolution est appelé cône circonscrit le long du parallèle.

La sphère de centre I et de rayon IM est tangente à la surface tout le long du parallèle ; c'est la sphère inscrite.

Ces propriétés permettent de résoudre tous les problèmes relatifs aux plans tangents aux surfaces de révolution.

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Application. — Considérons Tellipsoïde allongé engendré par Tellipse E, située dans le plan de comparaison, tournant autour de son grand axe A.

(fig. 223).

Etantdonné la projection m d'un point de la surface, trouver sa cote et le plan tangent en ce point.

Le parallèle de M est le plan vertical //zP, perpendiculaire à rhorizontale A.

Rabattons P sur le plan de comparaison; le parallèle est rabattu suivant le cercle décrit sur ab comme diamètre; le point projeté en m est rabattu sur ce cercle en m' \ min! est la cote de M audessus ou au-dessous du plan de comparaison.

Le plan tangent est déterminé par la tangente mt [t étant le point ou la tangente en M rencontre le plan de comparaison) et le point s{p) sommet du cône circonscrit le long du parallèle ; s est obtenu en mettant la tangente en « ou en 6 à la méridienne donnée.

Si l'on mène la normale en « à la méridienne, on

28o SURFACES DE RÉVOLUTION

obtient en i le sommet du cône des normales : la normale en m est donc mi] en menant le plan perpendiculaire à mi au point m on obtiendrait d'une autre manière le plan tangent.