EXÉCUTION DES ÉPURES. PROCÉDÉS PRATIQUES
Intersection d'un polyèdre et d'une sphère. — Les sections de la sphère par les faces du polyèdre sont des cercles, projetés suivant des ellipses ; on détermine les deux axes de ces ellipses, les points sur le contour apparent de la sphère et les points situés sur les arêtes du polyèdre ; on distingue ensuite les parties vues et cachées suivant la méthode indiquée plus loin.
Pour déterminer les axes des ellipses, on prend, pour chaque face, un plan vertical auxiliaire, passant par le centre de la sphère et perpendiculaire aux horizontales du plan de la face considérée ; on rabat ce plan vertical sur le plan horizontal du centre, comme dans la méthode générale indiquée pour la section plane delà sphère, ce qui donne les deux axes de l'ellipse ; on obtient les points sur les ajêtes en prenant l'intersection de ces droites avec la sphère.
Si le polyèdre donné est un prisme à arêtes horizontales, on voit, par ce qui précède, qu'il suffira d'un seul plan vertical auxiliaire perpendiculaire aux arêtes du prisme.
• Application. — Tétraèdre entaillé par une sphère. (fîg. 224). — Soit abc la base du tétraèdre dans le plan horizontal, s son sommet de cote <t. Soit o le centre de la sphère de cote w ; la sphère est tangente k l'arête sa au point M projeté en m.
Les faces coupent la sphère suivant des cercles projetés suivant des ellipses. Construisons Tune d'elles en déterminant les sommets, par exemple celle qui est dans la face SAB.
Prenons le plan vertical oy dont la trace est perpendiculaire kab^ comme plan de projection et rabattons-le sur le plan horizontal de cote w. Le point s se
Fig-. 224,
projette en ^3, tel que \s^ = ^ — w, différence des cotes ; le point y qui est dans le plan de projection, se projette en y, tel que yy' = (o ; -^'s^ est la trace du plan de la face, et le cercle o est la trace verticale de la sphère.
La face coupe la sphère suivant le cercle projeté en u^v^ ; les points u el v sont les extrémités du petit axe de Tellipse ; le grand axe est perpendiculaire au milieu ; sa longueur est u^v^.
•28i SURFACES DE HÉVOLUTIOS
Les points sur le contour apparent de la sphère sont obtenus en coupant par le plan horizontal de cote co, qui donne dans le tétraèdre le triangle aj)^c^. Les intersections des côtés avec le cercle o donnent les points cherchés.
Le plan horizontal de la face de base coupe suivant un cercle.
Enfin, nous avons déterminé les points d'intersection de l'arête SB avec la sphère en coupant par le plan projetant cette arête et le rabattant sur le plan horizontal (w). Il donne dans la sphère le cercle de diamètre IK qui coupe le rabattement s'b^ de la droite sb {ss' = <j — (o ; bb^ = tu) en p^ et ç^, projetés en p et g^. Ce sont les points cherchés.
Parties vues et cachées, — Nous marquons d'abord, les portions d'arêtes conservées et les arcs des ellipses-projections qui forment le contour apparent du solide conservé ; il ne reste plus qu'à voir, lorsque deux lignes se rencontrent, celle des deux pour laquelle le point, projeté en ce point j^de rencontre, a la plus forte cote.
Représentons, par exemple, sur l'épure précédente le solide commun à la sphère et au tétraèdre.
Traçons d'abord le contour de ce solide (fig. asS). Il se compose d'une partie a[3, contour apparent sphérique, de l'arc d'ellipse Py, de l'arc yj d'une autre ellipse, de la portion d'arête iK de la base du tétraèdre de l'arc d'ellipse Ka, du contour apparent sphérique ).u et enfin d'un autre arc d'ellipse- [xa limitant le solide.
Toute cette ligne est vue.
Pour figurer le reste, prenons comme point de départ une ligne sûrement conservée el vue, par
exemple le morceau d'arête pq, qui est à Tintérieur de la sphère, et par conséquent, arête du solide commun.
Les arcs d'ellipse çjjl, çX, pr, pm aboutissant aux points vus p et ç, sont également vus ; au point /', nous traçons la portion d'arête conservée /'A.
L'arc nn est vu et conservé jusqu'en |3, puisque l'arête sa est tangente à la sphère ; de même l'arc /?za est vu.
Le cercle de base inférieure est caché tout entier, le corps étant supposé solide et opaque.
Remarque. — La méthode reste la même si le polyèdre a une base dans un plan autre que le plan de comparaison ; on détermine les horizontales de chacune des faces et l'on prend des plans verticaux auxiliaires comme précédemment.
INTERSECTION D UN POLYEDRE ET D UN CONE ou d'un CYLINDRE
Cône ou cylindre ayant sa directrice dans le plan de comparaison^ ou dans un plan parallèle. — La méthode générale consiste à couper par des plans auxiliaires passant par le sommet du cône et par le sommet de la pyramide ; pour ordonner les constructions, on procède comme dans le cas de i'in-
•284 SURFACES DE RÉVOLCTIOy
tersection de deux polyèdres, en ayant soin de ne pas oublier les plans limites pour le cône ou le cylindre, plans qui donnent des points où la tangente est la ,droite déterminée dans le polyèdre.
Il est souvent avantageux d'employer des plans verticaux auxiliaires perpendiculaires aux horizontales des faces successives du polyèdre. La face considérée, et par suite la section demandée, se projette tout entière suivant une droite ; il suffit de prendre les points d'intersection de cette droite avec toutes les génératrices du cône.
On obtient ainsi les points le plus à droite et le plus à gauche et les points sur les génératrices de contour apparent.
Si la section est hyperbolique, la méthode est très avantageuse ; on obtient les directions asymptotiques en menant par le sommet du cône le plan parallèle au plan sécant, dont on a immédiatement la trace horizontale.
Prenons comme exemple l'épure suivante.
Le point o étant le centre de la feuille, on donne : (fig. 226).
OH = 4o mm
HA = HB=45 mm
OC = 65 mm
ABC, dans le plan de comparaison, est la base d'un tétraèdre dont l'angle en S est trirectangle, S' étant au-dessus du plan ABC.
Du point (i>, pris sur CH, otu = 35 mm, on décrit, dans le plan de comparaison, un cercle de rayon 35 mm ; ce cercle est la base d'un cône dont le sommets se projette sur CH.
S a la môme cote que S et il est déterminé par la
condition que le plan tangent au cône en o soit parallèle au plan SAB.
Intersection du cône avec les faces de SABC.
Représenter ce qui reste du tétraèdre quand on enlève la partie intérieure au cône.
Tangentes aux points sur AB et sur SC.
Fi g. 22().
On sait que la projection s du sommet est au point dé concours des hauteurs de ABC.
Projetons sur le plan vertical V perpendiculaire à AB.
s se projette en s'^ sur le cercle décrit sur A'C comme diamètre.
Une des génératrices de contour apparent vertical du cône, trace d'un plan tangent vertical parallèle, d'après les données, à ^'A' est la droite oV, a' étant sur la parallèle à V menée par s'.
286 SURFACES DE RÉVOLVTIOS
Le plan SAB, perpendiculaire au plan Y, a pour trace ^'A' .
La section par ce plan est une parabole dont on a le sommet en m\ projeté en m ; on a de plus les deux points a et ^ où AB rencontre la base du cône ; les tangentes en a et p sont st. et s^ puisque la soustangente est le double de Tabscisse et que wH= ms^ par suite des, données.
La parabole est donc déterminée.
Pour les autres sections symétriques du cône par les faces SAC et SBC, on pourrait également projeter sur un plan perpendiculaire à AG, par exemple.
II est préférable, dans ce cas, d'employer la méthode générale.
La droite des sommets rencontre le plan des bases ù rinfini ; les traces des plans auxiliaires passant par SS sont parallèle^ à s^ ; soit 1 Tune de ces traces.
Le plan correspondant coupe le cône suivant deux génératrices <t/>, zq et la face SAC suivant la droite si\ ce qui donne deux points i et k de l'ellipse d'intersection ; on a facilement les tangentes en ces points.
On obtiendrait les points sur les contours apparents en coupant par les plans auxiliaires passant par les contacts des tangentes au cercle menées de <t.
Le plan limite de trace /, tangente au cercle, donne un point où la tangente est la droite sL
L'épure se termine sans difficulté.
Remarqua. — Dans le cas d'un cylindre, le centre de la section est à l'intersection avec la parallèle aux génératrices menée par le centre d'une directrice quelconque.
Les points sur les génératrices de contour appa-
rent déterminent un diamètre, qui divise en deux parties égales les cordes parallèles aux génératrices; soit' ab ce diamètre (fig. 227); en détermi- Z^,,----^"/' ""^ /
nant le point c situé sur ^tJ^- — -^'-- -/^
Tune des génératrices /T / ^^yy
projetées suivant Taxe, —/- — /^ '^^'^^ /
et prenant le symétrique
d^ on a deux points où
la tangente est parallèle à ah ; l'ellipse est inscrite
dans le parallélogramme ainsi formé, ce qui permet
de la tracer avec suffisamment d'exactitude.
Cône ou cylindre de révolution (axe quelconque) et polyèdre. — On pourrait appliquer la méthode générale en prenant pour directrice, comme nous Tavons montré précédemment, une ellipse projetée horizontalement suivant un cercle. (Directrice de Monge.)
Il est souvent plus simple d'employer des plans verticaux auxiliaires perpendiculaires aux horizontales des faces du polyèdre.
Exemple. — Soit un cône de révolution d'axe ^^ (4) cl (o), circonscrit à une sphère donnée de centre d.
On demande de trouver l'intersection du cône avec le prisme de base abc^ dans le plan de comparaison, les arêtes ayant la direction ag. Pour trouver l'intersection avec la face acg^ par exemple, prenons pour plan vertical auxiliaire le plan (iV, perpendiculaire à l'horizontale ac ; la trace du plan de la face est Q' obtenue à l'aide de a', projection de a (fig. 228).
Le point s se projette en s^ à la distance 4 de rfV; la sphère ne change pas; le contour apparent du
