PLUS COURTE DISTANCE

s'appuyant sur AB et CD. Menons par le point m une perpendiculaire mp à ce plan ; son intervalle est réciproque de celui du plan, et il faut graduer mp en sens inverse de la graduation du plan. En joi-

Fig. 5o.

gnant les points de même cote sur ab et sur mp ainsi graduée, on aura des horizontales du plan mené par AB perpendiculairement au plan parallèle à AB et CD.

On a le second plan en opérant de même avec CD; rintersection des deux plans est la perpendiculaire commune.

On peut opérer plus simplement comme il est fait sur Fépure. On cherche Tintersection du plan mené par mp et AB, avec la droite CD. Pour cela, on coupe par un plan passant par CD qui donne la droite ef déterminant le point /• ; rs est la perpendiculaire commune, dont on sait trouver la vraie grandeur.

Problème. — Mener parallèlement à un plan une droite de longueur minimum, s^appuyant sur deux droites données (non dans un même plan). —

PERPENDICULAIRE COMMUNE A DEUX DROITES

Nous allons déterminer (J'abord une droite de longueur donnée s'appuyant sur les deux droites et parallèle à un plan; la condition de possibilité du problèntie nous donnera le minimum*.

Soient A et C les deux droites ; P la direction du plan (fig. 5i).

Soit Mg la droite cherchée ; projetons la figure de

l'espace surP parallèlement à la droite C. My étant parallèle à P se projette en vraie grandeur suivant tm\ le lieu .du point m est donc le cercle décrit dans le plan P, de / comme centre, avec un rayon égal à la longueur donnée.

D'autre part, m doit se trouver sur A^, projection oblique de A parallèlement à C ; on aura donc deux solutions aux points d'intersection de A^ avec le cercle.

Pour que le problème soit géométriquement possible, il faut et il suffit que la longueur donnée soit supérieure à la longueur de la perpendiculaire tr abaissée de t sur A^ ; cette longueur est le minimum cherché. On obtient la position de la droite en relevant /• sur A en R parallèlement à G. En menant alors

Fig. 5i.

(•) Nous appliquons ici la méthode générale employée en mathématiques élémentaires pour la recherche des maxima et des minima, aussi bien dans les questions d'algèbre que dans celles de géométrie; on suppose donnée la grandeur (valeur numérique d'une fonction, longueur, angle, etc.), et on cherche entre quelles limites la valeur attribuée doit être comprise pour que le problème soit possible. Ces limites donnent les maxima et les minima.