CAS PARTICULIERS

par R un plaù parallèle à P, qui coupe C en S, on ti en RS la droite cherchée.

Remarque. — i. Si Ton prend une longueur supérieure au minimum, on trouve deux solutions, qui sont situées de part et d'autre de la droite minimum; le point où celle-ci s'appuie sur A, par exemple, est le milieu des points donnés sur A par les. deux solutions ; il en est de même sur B.

^ a. Nous verrons plus tard que ces construcrtions sont les mêmes que celles qui servent à déterminer l'intersection d'une droite et d'un cylindre. On aurait pu, en effet, expliquer la solution de la manière suivante :

Toutes les droites s'appuyant sur C, parallèles à un plan P, et de la longueur donnée, ont leur autre extrémité sur la surface d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à C, et dont la trace sur P est un cercle ayant pour centre la trace de la droite C sur le plan P.

D'autre part, ces droites devant s'appuyer sur A, le feront aux points d'intersection de A avec le cylindre.

3. Cette plus courte distance parallèlement à un plan devient la perpendiculaire commune, si le plan est parallèle à cette perpendiculaire, par exemple si on connaît la direction de sa projection horizontale, c'est-à-dire celle du plan vertical qui la projette.

Cas particuliers. — Plus courte distance d'une droite quelconque et d'une droite verticale. — Soit une verticale dont le pied est en o, et une droite quelconque d (fîg. 52).

La perpendiculaire commune, étant perpendiculaire

PERPENDICULAIRE COMMUNE A DEUX DROITES

à une verticale, est une horizontale; sa projection horizontale passe par o, puisqu'elle rencontre la verticale, d'autre part, l'angle droit qu'elle fait avec D se projette horizontalement suivant un angle droit, puisqu'un des côtés de l'angle droit est parallèle au plan horizontal; la perpendiculaire commune est donc projetée suivant op perpendiculaire à d. La plus courte distance est op en vraie grandeur.

Fi g. 52.

Plus courte distance d'une horizontale et dune droite quelconque. — On ramène ce cas au précédent en prenant comme plan de projection auxiliaire un plan vertical V quelconque perpendiculaire à l'horizontale, qui se projette sur V suivant un point A'. Rabattons V sur le plan horizontal de même cote que A, soit 2.

A «t B se projettent ena', 6', à des distances de Y égales à la différence des cotes avec h (Qg. 53). La perpendiculaire commune, qui mesure en vraie grandeur la plus courte distance cherchée, est projetée sur V suivant h p' d'après le raisonnement du cas précédent; d'autre part p' est projeté en p sur ab ; pin, perpendiculaire à h en vertu du théorème de la

projection de l'angle droit, est la projection de la perpendiculaire commune.