DROITES A PROJECTIONS PARALLELES

Remarque. — Il est intéressant de constater que cela revient à chercher la plus courte distance des deux droites parallèlement à V, et que nous avons été conduits à effectuer les mêmes constructions.

Plus courte distance de deux droites dont les projections sont parallèles. — Soient AB et CD projetées suivant les parallèles ab, cd.

Un plan parallèle aux deux droites est vertical, et parallèle à leur plan projetant; la perpendiculaire commune cherchée, étant perpendiculaire à un plan vertical, est une horizontale; l'angle droit qu'elle fait avec AB et CD se projette suivant un angle droit; donc la plus courte distance est mesurée par la distance des deux projections ab et cd (fig. 54).

Pour avoir la perpendiculaire commune en position, il faut trouver ,, une horizontale , de direction perpendiculaire à «6, s'appuyant sur AB et CD. Nous Tavons obtenue en projetant sur le plan vertical auxiliaire ab et ra- cJS) p STTS) battant sur le plan hori- ... ., zontal du point A. On

obtient, comme précédemment, ab' et c'd' comme projections verticales. -

La droite cherchée, étant perpendiculaire au plan vertical, se projette suivant un point qui doit se trouver à la fois sur ab' Qic'd'\ c'est donc m' et la perpendiculaire commune est mp^ en vraie grandeur d'après ce que nous avons dit plus haut.

Mautin et Pernot. Géométrie cotée. 4

m 3 : [hCk

PERPENDICULAIRE COMNUNE A DEUX DROITES

Remarque. — Le problème, trouver une horizontale s'appuyant sur deux droites, est le môme que celui de la recherche de l'intersection de deux plans dont les échelles de pente sont parallèles; on peut donc obtenir un point i de mp en joignant les points de cote 3 et de cote i,5, par exemple, sur les deux droites données (fig. Sa).

Application, — Dans le cas général, on peut amener les deux droites à avoir leurs projections parallèles sur un plan vertical auxiliaire V, pris perpendiculaire à rhorizontale du plan parallèle aux deux droites.

Soient ab et cd les deux droites (fig. 55) ; menons par a une parallèle «8 à crf; Fhorizontale d'un

plan parallèle aux deux droites est 68, aS étant égal à cd. Prenons V perpendiculaire à 68.

Le plan parallèle aux deux droites est perpendiculaire au plan V, c'est-à-dire que les projections a' b' et d d! des deux droites sur ce plan sont parallèles ; la plus courte distance est la distance des deux parallèles d d! et d b\

On pourrait déterminer la perpendiculaire commune en opérant sur la projection auxiliaire comme nous l'avons fait sur la projection horizontale dans le cas précédent.

Oènéralitès. — On a pu voir, dans les questions qui précèdent, les simplifications qu'apportait telle position particulière d'une figure à Tapplication des méthodes générales. Il suffit, pour s'en rendre conipte, de comparer, par exemple, les constructions nécessaires pour trouver la plus courte distance de deux droites à celles qu'il suffit d'exécuter dans le cas où Tune des droites est verticale.

Les méthodes que nous allons exposer ont pour but d'amener une figure dans la position la plus favorable pour résoudre un problème avec le moins dé constructions possible.

Rabattements. — Si la figure est plane, on amène son plan à coïncider avec un plan horizontal en le faisant tourner autour de l'horizontale contenue dans ce plan, ce qu'on appelle rabattre le plan sur un plan horizontal.

Le plan coïncide ainsi avec le plan de la feuille de l'épure; on peut alors exécuter directement et en vraie grandeur les constructions à effectuer dans le plan. Ceci fait, on ramène le plan dans son ancienne position.

5a liABATTEMENTS ET ROTATIONS

Rotations. — Si la figure n'est pas plane, on ramène dans la position la plus avantageuse en la faisant tourner autour d'un axe convenablement choisi.

On a soin, bien entendu, de ne faire tourner que les points de la figure nécessaires pour la solution de la question proposée.

Les constructions effectuées, on ramène les points utiles dans l'ancienne position de la figure par une rotation en sens inverse.

S'il n'y a que quelques points en dehors d'un plan, nous donnerons encore le nom de rabattement à la rotation du plan autour d'une horizontale pour l'amener à coïncider avec le plan horizontal, le plan entraînant dans son mouvement les points en dehors de lui, que nous lui supposerons invariablement liés.

Pratiquement la méthode des rotations n'est avantageuse que si elle s'effectue autour d'un axe vertical ou horizontal.

Rabattre un plan sur un plan horizontal. — Soit un plan P donné par une horizontale h de cote 4 et un point a (6) (fig. 56).

Proposons-nous de faire tourner le plan P autour

Fig. 56.

de l'horizontale h pour l'amener à coïncider avec le plan horizontal H(4) qui contient A.