PROBLÈME DU TRIÈDRE TRIRECTANGLE

des propriétés homologiques ; o^b^ rencontre Taxe en u ; o, se projette donc en o sur bu^ oo\ étant perpendiculaire à Taxe.

Le diamètre du cercle qui est parallèle à l'axe aura un homologue également parallèle à Taxe; ce diamètre est donc projeté en vraie grandeur; il donne le grand axe de Fellipse-projection.

Le petit axe provient du diamètre perpendiculaire ; rhomologie nous permet de trouver facilement la projection d'une des extrémités e^ projetée en e.

L'ellipse est déterminée par ses deux axes en grandeur et en position. On peut la construire par points comme figure homologique du rabattement. La tangente en un point /«^ projeté en m^ obtenu par homologie, s'obtient en menant la tangente mj, au cercle rabattu et en joignant le point t^ où m^t rencontre Taxe, au point m; la tangente est/w^. On le démontrerait par le même raisonnement que nous avons fait à propos de la projection de la tangente, en la considérant comme limite d'une sécante.

On a facilement les points de contact avec les côtés du triangle en relevant les contacts du cercle avec les côtés du triangle rabattu.

Trouver le sommet d'un trièdre trirectangle dont les arêtes passent par trois points donnés,

— Résolvons d'abord le problème quand Je plan déterminé par les trois points est horizontal.

Les trois angles au sommet étant droits, chaque arête est perpendiculaire au plan des deux autres. Celle qui passe au point c se projette donc perpendiculairement à la droite ab^ qui est une horizontale du plan de la face opposée (fig. 62). 11 en est de même pour les arêtes qui passent aux points a et b. Donc

6o RABATTEMENTS ET ROTATIONS

la projection horizontale s du sommet S du trièdre est au point de concours des hauteurs du triangle abc.

Pour avoir la cote de ce point, coupons par le plan vertical projetant SC, et rabattons-le sur le plan horizontal ABC. Le point s sera rabattu sur la perpendiy culaire à se; d'autre part,

^"^^^^^ rx^^-x // SG étant perpendiculaire

\^v^ ; y^N 81^1 plan SAB, les droites

— -/->Sj XS, et c S, doivent être per- //' ; pendiculaires ; donc Sj est

// ! sur le cercle décrit sur \c

comme diamètre ; ^S, est la cote du sommet projeté

Fig. 6a. ®^ ^'

Pour que le problème soit possible, il faut que le point s soit à Tintérieur du triangle, c'est-à-dire que celui-ci n'ait que des angles aigus.

Cas où le plan passant par les trois points est quel-conque. — Il suffit de rabattre le plan sur un plan horizontal, d'effectuer la construction précédente et de ramener dans son ancienne position le plan entraînant avec lui le sommet du trièdre.

Ce procédé rentre plutôt dans la méthode des rotations que nous allons exposer.