ROTATION D*UN PLAN

Prenons celle des deux solutions qui correspond à l'angle de rotation a; le point />^ p reste dans un plan parallèle à V et par conséquent, vient en/?',, p^; h' vient en 6/ tel que p'b' =^p\ h\ et horizontalement en h^ ; p^ ô, est la nouvelle position de la droite devenue horizontale après la rotation.

Rotation dun plan. — Supposons Taxe h^ parallèle aux horizontales du plan et projetons sur le plan vertical V perpendiculaire à A, qui se projette suivant le point A' (fig. 70).

En tournant autour de A, la ligne de plus grande pente P' du plan enveloppe un cercle de centre A', ce qui règle le mouvement du plan.

Dans l'espace, P reste tangent à un cylindre de révolution dont la trace sur V est le cercle de centre h\ tangent à P'.

Pour amener P à être horizontal, il faut faire tourner de l'angle a; pour ramener à être vertical, de l'angle p, (en prenant l'une des solutions).

Supposons qu'on amène P à être horizontal, (par exemple pour construire un trièdre trirectangle passant par trois points de ce plan) et cherchons quel est le point de P, qui correspond dans P'j à un point s\ 5j. Faisons tourner s\ autour de h' de l'angle a, en sens inverse ; il viendra en 5' et comme son mouvement s'effectue dans un plan parallèle à V, on obtient^

sur la ligne' de rappel de s' d'une part, et sur la perpendiculaire s^s à h^ d'autre part.

On résout de la même façon les questions suivantes :

' Amener un plan à passer par un point donné. — Soit m' la projection du point V; il suffit d'amener P' à passer par ce point, c'est-à-dire de mener de m! les tangentes au cercle enveloppe de P'; on obtient ainsi 2 solutions, auxquelles correspondent les nouvelles Iigne3 de pente du plan, facile à graduer. La solution est la même si Ton veut amener le plan à être parallèle à une direction donnée; il suffit d'amener P' à être parallèle à la projection verticale de la direction, c'est-à-dire de mener au cercle enveloppe des tangentes parallèles.

• Par le même procédé, on peut amener le plan P à faire un angle donné avec le plan horizontal, puisque cet angle est mesuré par celui de la ligne de plus grande pente avec la trace V du plan vertical.

Angle de deux droites. — On appelle angle de deux droites Fangle des parallèles à ces droites menées par un point de l'espace. On a ainsi deux angles supplémentaires, qu'on peut distinguer en orientant Tespace d'une façon conventionnelle.

Si les droites données ne se rencontrent pas, on mène par un point de l'une d'elles une parallèle à l'autre; on est ramené au cas de deux droites situées dans un même plan.

Pour déterminer l'angle des deux droites, on amène le plan qui les contient à coïncider avec un plan horizontal, au moyen d'un rabattement ; l'angle est alors figuré en vraie grandeur.

Soient les deux droites a (a) s (4), b (i) s (4) qui se rencontrent en un point s. En joignant a au point de cote 2 pris sur bs^ on a l'horizontale ah de cote 2. Rabattons le plan ABS autour de «î/tsurle plan horizontal dé cote 2 (fig. 71).

Les points a et h restent fixes, 5 est l'abattu en s^y d'après la règle du triangle rectangle, (ss'=i — 2= 2.)

On a Tangle des deux droites en asji.

Cas particuliers: — Angle cTune droite quelconque avec une droite horizontale, — La méthode est la même; la droite horizontale sert d'axe pour le rabattement.

Angle d'une droite avec une verticale. — Soit a (i), b[i) la droite et o le pied d'une verticale, qu'on peut prendre sur ab (fîg. 72).

Rabattons le plan vertical abo qui contient les deux droites sur le plan, horizontal décote i, par exemple, b vient en b'^a reste fixe et la verticale est rabattue suivant oz' perpendiculaire ka b.

On a en az'o Tangle cherché.

Fig. 72.

Plan bissecteur de deux droites qui se coupent. — Rappelons qu'on désigne ainsi le plan perpendiculaire au plan des deux droites mené par une de leurs bissectrices. Il y en a deux qui déterminent le lieu des points de l'espace situés à égale distance des deux droites ainsi que le lieu des droites qui font des angles égaux avec les deux droites et qui passent par leur point de rencontre. Les problèmes qui suivent donnent des exemples de l'utilisation des plans bissecteurs de deux droites.

Trouver sur une droite un point équidistant de deux droites qui se coupent. — Le lieu des points équidistants de deux droites qui se coupent est composé des deux plans bissecteurs des deux droites; l'intersection de la droite donnée avec ces plans donnera deux points répondant à la question.

PLAN BISSECTEUR DE DEUX DROITES Ji'

Soient ai, fo, les deux droites (fig. ^Z) ; ab une horizontale de cote 2 de leur plan. Rabattons ce plan autour de aè sur le plan décote 2; s vient en s^, (en rabattant par le plus grand angle pour ne pas compliquer l'épure) ; menons la bissectrice s fi de Pangle

Fig. 73.

asj); s fi se projette en sc^ ç étant coté 2. Menons par c (2) une perpendiculaire au plan abs\ on a le double de l'intervalle réciproque en st^ s't étant perpendiculaire à <ry. En prenant cûî = 5^, sur la perpendiculaire au plan menée par c, c'est-à-dire sur la perpendiculaire à l'horizontale, on a le point d de cote 4, la pente de cd étant ainsi de sens opposé à celle du plan ; scd détermine un des plans bissecteurs; menons une échelle de pente B de ce plan graduée à Taide de l'horizon-

taie sd et de la parallèle menée par c (2) ; il suffit de prendre par la méthode habituelle l'intersection m de ce plan avec 8 ; on a ainsi sur A un point équidistant . des deux droites; nous l'avons obtenu, sur Tépure, en menant par 8 un plan quelconque qui coupe B suivant pg dont la rencontre avec 8 donne le point m, de cote 7 environ.

Étant donné un point M et deux droites D et A, mener par M une droite s' appuyant sur la droite D et faisant des angles égaux avec les droites D et A. — Un premier lieu de la droite cherchée est le plan passant par M et D. Si par M on mène des parallèles Dj et Aj à D et A, le lieu des droites qui font des angles égaux avec D et A sera l'ensemble des plans bissecteurs de Dj et A^ ; l'intersection de chacun de ces plans avec le plan passant par M et D sera une droite répondant à la question.