SPHERE CIRCONSCRITE AU TETRAEDRE

Figr. 76.

Pour construire son intersection avec la verticale du point o^ prenons comme plan vertical auxiliaire le plan vertical ad\ d est proj été en d'; rfrf'=8; le plan perpendiculaire au milieu de ad! ^ qui est perpendiculaire au plan vertical auxiliaire, rencontre en d la verticale, projetée suivant z',

00' est la cote du centre de la sphère, projeté en o. Le rayon est Thypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont oa et iùo' ; il est construit en «Oj. Le grand cercle de la sphère qui est dans le plan horizontal du centre est projeté suivant le cercle décrit de o avec o^a comihe rayon.

Sphère circonscrite à un tétraèdre supposé solide, '. — Plaçons une des faces sur un plan horizontal. Soit ABC (fig. 77). Tout revient à déterminer la cote du quatrième sommet S par rapport au plan ABC, et sa projection sur ce plan; on pourra alors résoudre le problème par la géométrie descriptive en se servant de la méthode précédente.

Rabattons la face BSC autour de BG sur ABC. Connaissant BSj et CS^ on obtient S^.

S se projette sur la perpendiculaire S, a- à AC ; rabattons de même la face ASC; S se projette sur la perpendiculaire.de Sg à AB : s est au point de rencontre de S^s avec S^o-,

SPHERE

La cote de S est le côté d'un triangle rectangle dont rhypoténuse est «rS^ et Faiitre côté s^. En construisant ce triangle, on a en ^S' la cote de S projeté en s. On est ramené au cas précédent.

Fig. 77.

Remarque. — La même méthode s'appliquerait si le tétraèdre était donné par les longueurs de six arêtes. On construit les deux triangles BCSj et ACS,, les trois côtés de chacun d'eux étant connus.

Cas général. — Sphère circonscrite à un tétraèdre dont les quatre sommets sont quelconques, a (i), b (4i5)> c (0,7), s (6,3) (fig- 78). Le centre de la sphère cherchée, point à égale distance de A, B, C, S, sera à l'intersection des trois plans m^nés perpendiculairement à AB, BC, es en leurs milieux. Prenons comme plan vertical auxiliaire le plan projetant AB, qui se trouve rabattue en a'b' sur le plan de comparaison ;