SPHERE CIRCONSCRITE AU TÉTRAÈDRE
soit m le milieu de a'V, la ligne de plus grande pente du plan perpendiculaire à AB en son milieu est la perpendiculaire mft à a'b'.
En opérant de même sur le plan vertical èc, le plan perpendiculaire au milieu P de BC a pour ligne de plus grande pente rabattue la perpendiculaire p'^ au milieu de cj)^.
Fig. 78.
Enfin, le rabattement du plan es donne qu pour ligne de pente du plan perpendiculaire à GS' en son milieu.
Pour avoir le point commun à ces trois plans, nous avons coupé par le plan de comparaison, puis par le plan de cote 2, et obtenu ainsi deux triangles homothétiques marqués en traits mixtes. Le centre d'homothétie donne la projection du centre o cherché ; on en a la cote en se servant de l'un des plans, par exemple en too^. Le rayon de la sphère est la distance
SPHERE
du point o au point c, obtenue par le rabattement ordinaire en OgC,.
Sphères tangentes à quatre plans. — Sphères inscrites et exinscrites à un tétraèdre. — Nous allons montrer qu'il y a toujours cinq sphères tangentes à quatre plans, et qu'il peut y en avoir huit au plus.
Supposons que les quatre plans forment un tétraèdre, dont les faces sont prolongées indéfiniment dans
tous les sens.
On conçoit une sphère inscrite dans l'intérieur du tétraèdre DABC, on en conçoit une également située dans l'intérieur du trièdre de sommet D, mais située du côté opposé à D .
par rapport au plan ABC ; p. il y en a quatre de cette
deuxième espèce, dites exînscrites, situées de la même façon par rapport aux trièdres de sommet D, A, B, G. Ces cinq sphères existeront toujours (fig. 79).
Il ne peut y en avoir dans les trièdres symétriques de ceux que nous avons considérés, par exemple dans le trièdre opposé à D par le sommet.
Si l'on considère les deux couples de plans qui ont pour arêtes deux côtés opposés, par exemple DA et BC, ces quatre plans forment ce qu'on appelle un comble^. Dans un tétraèdre, il y a six combles.
* Cette appellation correspond à ce qu'on appelle comble en architecture. Pour se représenter un comble, il n'y a qu'à regarder le toit d'une maison (fig. 8o).
SPHÈRES TANGENTES AUX FACES D'UN TÉTRAÈDRE 8i
La discussion va montrer que les cinq sphères citées plus haut existent toujours et qu'il peut y en avoir encore trois dans trois des combles.
Discussion. — Sphère inscrite. — Soit O le centre de la p. g^^
sphère inscrite dans l'intérieur
du tétraèdre DABC. Joignons OA, OB, OC, OD, et abaissons de 0 sur les quatre faces les perpendiculaires dont la longueur égale le rayon de la sphère inscrite.
Soit:
Va le volume du tétraèdre ODBC,
Va -
OAGD,
Vo -
OBDA,
OCAB,
DABC,
ha la hauteur issue de A
sui
• la base B^
r le rayon de la sphère.
On a:
V ~ Aa ' V ~ A, ' V
En ajoutant et remarquant que :
on a :
/' ~ ha "^ K 'K lïd^
Cette équation détermine /•, qui existe toujours, le second membre étant positif.
Martin et Pernot. Géométrie cotée. 6
8a SPHÈRE
Sphères exinscrites. -^ Supposons le point O dans rintérieur du trièdre D, mais du côté opposé à D par rapport au plan ABC. Joignons-le comme précédemment aux quatre sommets.
Soit /-rf le rayon de la sphère exinscrite.
On aura :
et par suite :
Je dis que / ^ est positif.
On a !
B A = ^ih = ^A = ^aK = 3V, ou :
Or, dans un tétraèdre, une face quelconque est plus petite que la somme des trois autres; donc le numérateur du dernier rapport est positif; la valeur commune des rapports, 3V, étant positive, il s'ensuit :
Donc / rf existe ; il en est de même de /•«, r^, r^.
Sphères dont le centre serait dans ^intérieur du trièdre opposé aux trièdres tels que D par le sommet, — On aurait dans ce cas :
/'d ~ ha hf, h, ha '
hi h, ha
ha
