SPHÈRE INSCRITE DANS LE TÉTRAÈDRE

D'après le même raisonnement que précédemment, on voit que le second membre est toujours négatif. Donc les quatre sphères répondant à cette hypothèse n'existent pas.

Sphères inscrites dans les combles. — Dans ce cas, V est égal à la somme des volumes de deux tétraèdres, diminuée de la somme des deux autres : p étant le rayon d'une des sphères, il y a six combinaisons pour

la valeur de — , donnant des valeurs deux à deux

p égales et de signe contraire :

II I I I ' i ' *

Il n'y a doue que trois valeurs possibles pour p.

Remarque. — Il peut ise faire, dans ce dernier cas, que la somme de deux faces soit égale à la somme des deux autres ; on a alors :

"aT ih ~ K "Â7

c'est-à-dire — ^^=0, égalité qui ne peut être satisfaite

que pour p infini.

Nous verrons plus loin que, dans ce cas, la sphère est rejetée tout entière à l'infini.

En résumé, la sphère inscrite et les quatre exinscrites existent toujours ; il peut y avoir trois sphères inscrites dans les combles ; il y a donc cinq solutions au moins, et huit au plus.

Sphère inscrite, — Méthode d'écraôement. -^ Nous donnons d'abord cette méthode, parce qu'elle fera bien comprendre la discussion faite plus haut.

SPHERE

Si nous abaissons du centre o de la sphère les perpendiculaires sur les faces, nous obtenons les poiiits de contacta, p, y, 8 (fig. 81).

Abaissons de y, par exemple, yX perpendiculaire àAB.

Les deux triangles rectangles oyA, o)v8 sont égaux, puisque oy = 08 = r.

Donc y). = ).8.

Rabattons la face DAB sur ABC, de manière que le point D vienne du même côté que C par rapport à AB ; le rabattement de y coïncide avec 8; il en est de même pour les points a et p, si on rabat les faces qui les contiennent de la même manière.

De plus, les longueurs Da, Dp, Dy sont égales comme tangentes issues de D à une même sphère. Soient D^DgDg les trois rabattements de D ; le point 8, avec lequel coïncident a, p, y, et qui est la projection de o sur ABC, sera équidistant de D,, D„ Dj, ; c*est donc le centre du cercle circonscrit au triangleDjDjDj. Ayant la projection du centre de la sphère sur le plan ABC, on mène en ce point une perpendiculaire au plan ABC, et on prend son intersection avec un des plans bissecteurs intérieurs, ce qui donne le centre de la sphère.

Fig. 81.

Remarque. — Cette méthode est à employer dans le cas où Ton donne un tétraèdre solide, ou bien si le tétraèdre est donné par les six longueurs de ses arêtes.