SPHERE INSCRITE DANS LE TÉTRAÈDRE

Plaçons une face ABC du tétraèdre sur le plan de comparaison (fig. 82) ; la face BDG est rabattue en BD,G, Dj étant pris du même côté que A par rapport à BG, connaissant les longueurs BDj et CD^ par hypothèse.

Fig. 82.

On obtient de même les points D^ et D3. Le point o centre du cercle circonscrit au triangle D^D^Dg est la projection du centre de la sphère sur le plan ABG.

Pour avoir la cote du centre et le rayon de la sphère, qui sont des longueurs égales, on cherche la projection d du sommet D, obtenu à Tintersection des perpendiculaires menées de D^ à BG et de D,

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86 SPHÈRE

à AC, puisque le relèvement d de D doit se trouver sur les perpendiculaires aux axes de rabattement. On détermine le plan bissecteur du dièdre dont Tarête est AC, en prenant pour plan vertical auxiliaire le plan de trace ^Dj.

Le point D se projette en d' Çkd' = XDJ par la construction inverse du rabattement; la bissectrice de l'angle d)d' est la trace du plan bissecteur. Le centre delà sphère est alors projeté en o' ; wo' donne la cote du centre et le rayon de la sphère inscrite.

En menant par le point [0,0') la perpendiculaire [oi, o'i') au plan de la face DBC, on a en [i') le contact de la sphère avec cette face.

On obtiendrait de même les autres contacts.

Sphères exinscrites. — Pour avoir la projection o^ du centre de la sphère intérieure au trièdre de sommet A, mais située au delà du plan BCD, il faut obtenir la superposition des points de contact avec le point Oj, c'est-à-dire rabattre extérieurement la face opposée à A, en prenant A symétrique de D, par rapport à BG ; les deux autres faces donnent comme précédemment Dg et Dg ; on prendrait o centre du cercle circonscrit au triangle A^D^Dj. On aurait de même les sphères ex-inscrites o.^ et O3. Celle qui est à rintérieur du trièdre D aura son centre au centre du triangle A^A^Ag, obtenu en rabattant les trois faces vers l'extérieur.

Sphères inscrites dans les combles» — Pour avoir les projections des centres confondues avec les rabattements des points de contact, il faut rabattre deux faces extérieurement, et la troisième intérieurement.

On aura donc pour projections des centres les

SPHERES EXINSCRITES 87

centres des cercles circonscrits à DjA^A,, DgAgA,, DgAjA^; on voit qu'il n'y en a que trois de possibles, ce qui tient à ce que, quand il y a une sphère dans un comble, il ne peut pas y en avoir dans le comble opposé, de même qu'il ne peut y avoir de sphère intérieure, par exemple, au trièdre opposé à A par le sommet.

Si les trois points D^A^Ag sont en ligne droite, le centre est rejeté à l'infini ; la sphère l'est également dans ce cas.

Cette particularité peut se produire pour les trois sphères inscrites dans les combles ; on verrait facilement que c'est le cas où la somme de deux faces est égale à la somme des deux autres.

Les cinq autres sphères existent toujours.

Autre méthode, — Déterminons trois des plans bissecteurs intérieurs ; nous obtiendrons le centre de la sphère, poiilt commun à ces trois plans, en coupant les trois plans par deux plains parallèles.

Le centre d'homothétie des triangles déterminés par ces deux plans donnera le point cherché.

Pour faire l'épure, supposons une base ABC du tétraèdre dans le plan horizontal. D est donné par sa projection d (4).

Menons les plans bissecteurs intérieurs des dièdres AB, BC, CA (fig. 83).

Le dièdre suivant AB est obtenu en coupant par le plan vertical mené par d perpendiculaire à AB.

D se projette sur ce plan en d^ ; dd^ = 4«

La bissectrice de l'angle dZd^ détermine avec AB le plan bissecteur cherché.

De même pour les deux autres dièdres.

Coupons les trois plans bissecteurs par deux plans

SPHERE

horizontaux; le plan horizontal de projection donne le triangle ABC.

Un autre plan horizontal donne les liorizontales h^y Aj, A„ de même cote, obtenues en prenant sur les

et.

Fig. 83.

projections auxiliaires les horizontales A',, A'^, A'g; leurs points de rencontre avec les bissectrices donnent les points par où passent A^, Ag, Ag.

Ces trois droites déterminent un triangle a^yhomothétique de ABC ; le centre d'homothétie o est la projection du centre de la sphère.

Pour avoir sa cote, il suffit de prendre sa projection o' sur la trace du plan bissecteur du dièdre BC,