TROIS POINTS ET UN PLAN TANGENT

par exemple. La co^e est la distance too^ c'est également le rayon de la sphère.

En combinant les plans bissecteurs intérieurs et extérieurs, on obtient les sphères exinscrites et celles inscrites dans les combles, si elles existent.

Sphère passant par trois points et tangente à un plan. — Soit P le plan auquel la sphère doit être tangente ; A, B, C, les trois points donnés (fig. 84).

Joignons AB qui rencontre P en M ; K étant le , point de contact cherché, MK sera une tangente à la sphère.

La puissance de M par rapport à la sphère est MK* = MAxMB.

On connaît MA et MB ; on peut donc construire MK en faisant passer un cercle quelconque par A et B et menant de M une tangente dont la longueur sera égale à MK ; on peut de même construire QK.

Les cercles décrits de M avecMK et de Q avec QK comme rayons se coupent en deux points qui conviennent pour le contact des sphères passant par A, B, G et tangentes au plan P. 11 y a donc deux solutions qui peuvent être confondues, si les deux cercles sont tangents.

Pour que le problème soit possible, il faut que les trois points soient situés d'un même côté par rapport au plan.

Epure, — Soit un plan P donné par sa trace t et un point s (4), et les trois points a {i),b (1,4)7 c (0,7) (fig. 85).

Fig. 84.

SPHERE

Nous prenons l'intersection M de AB avec P en prenant pour plan vertical auxiliaire le plan projetant AB et le rabattant sur le plan horizontal ; la trace de P sur ce plan vertical est //•', r étant obtenu par rintersection avec Thorizontale du point S du plan de cote 4 ; «'^' est la projection de AB. Cette

Kig. 85.

trace rencontre a'b' en m' projeté en m. La puissance de M par rapport à la sphère cherchée est le produit m'a' X m'b' = m'if^, obtenu en faisant passer un cercle quelconque par a' et b'.

Si Ton rabat le plan P sur le plan horizontal autour de /, m est rabattu en m^, déterminé comme d'habitude.

De même BC coupe P en O dont on a la puissance QP'^' Q est rabattu en q^^ obtenu par homologie;