TROIS POINTS ET UN PLAN TANGENT

Les cercles décrits de /?javec m'p^ et de q^ avec q'p\ se rencontrent en deux points ; prenons K^ relevé en K.

Le centre de la sphère cherchée sera à l'intersection de la perpendiculaire K9 élevée au plan P en K. dont nous avons déterminé la trace 0, avec, par exemple, le plan mené- perpendiculairement à BG en son milieu (t, i').

Ce plan étant déterminé par sa trace u et le point (ê, i^), nous avons pris son intersection avec K9 en projetant la droite K8 sur le plan vertical de trace bc. Sa projection verticale K"0 coupe la trace du plan au point o' projeté eh o.

Le point o, de cote wo', est le centre de la sphère qui touche le plan en Kj. On aurait la deuxième solution de la même manière.

Autre méthode, — Considérons le cercle de centre o circonscrit au triangle ABC (fig. 86).

Le centre de la sphère cherchée sera sur la perpendiculaire en o au plan ABC.

Menons par cette droite oi^ un plan perpendiculaire au plan P, qui coupe P suivant la droite TR.

Ce plan coupe la sphère suivant un grand cercle qui passe par les points D et E, intersections de sa trace sur le plan ABC avec le cercle circonscrit au triangle ABC, puisque ce cercle est sur la sphère cherchée.

De plus, le contact de la sphère et du plan P aura lieu sur la droite TR; on est ramené à tracer, dans le plan TOR, un cercle passant par deux points D et E, et tangent à une droite TR.

Fig. 86.

y^ff^^^^STf^r^"

SPHÈRE

Le point de contact I de ce cercle avec TR sera tel

que :

TP=TDxTE.

Donc TI=TM, tangente menée de T au cercle ABGDE.

Le centre du grand cercle ainsi déterminé est le centre de la sphère.

Cette méthode donne lieu à des constructions très simples quand les trois points A, B, G sont dans le

plan horizontal.

Supposons le plan P donné par son échelle de pente

(fig. 87).

Menons par la verticale du point o, centre du cercle cir- |e conscrit, un plan oT perpendiculaire au plan P ; rabattons ce plan sur le plan ' horizontal. L'intersection avec le plan P est rabattue en

l'-ig. 87.

TR', rabattement d'une ligne de pente du plan.

En prenant Tr = TM et élevant en V la perpendiculaire à TR', on obtient en o' le centre du grand cercle passant par les points D et E et tangent à SR', c'est-à-dire le centre de la sphère cherchée.

Ce centre est projeté en o; sa cote est 00^ \ son rayon est o'I'.

Sphère passant par un point et tangente à trois plans. — Nous supposons que les trois plans forment