UN POINT ET TROIS PLANS TANGENTS

un trièdre, c'est-à-dire qu'ils se coupent en un point unique S. '

Soit le point M par lequel doit passer la sphère (fig.88).

Toutes les sphères tangentes aux trois plans dans rintérieur du trièdre où se trouve le point M ont leurs centres sur la droite Sw, suivant laquelle se coupent les trois plans bissecteurs intérieurs des dièdres suivant SA, SB, SG.

On obtient Sw en prenant Fintersection de deux de ces plans bissecteurs. p,. §§

Prenons une sphère quelconque, décentre a>, tangente aux trois plans. La sphère cherchée sera homothétique de la sphère to, le centre d'homothétie étant le point S.

Cherchons sur la sphère co un point homothétique de M ; nous en obtenons deux [ji et «jl^ à l'intersection dé SM avec cette sphère ; prenons ]k par exemple ; le rayon jjlo) doit être parallèle à MO, o étant le centre de la sphère cherchée ; on a donc la direction de MO ; o sera à Tintersection de MO avec Sto.

Une deuxième solution serait donnée par a^to ; la parallèle menée par M donne sur Sto un autre centre o,.

Dans chaque solution, la sphère est déterminée par son centre et son rayon. On pourra faire Tépure lorsque nous aurons montré comment on prend l'intersection d'une droite et d'une sphère.

94 SPHERE

Sphère passant par trois points et tangente à une droite. — Soient trois points A, B, G et une droite D.

Dans le plan ABC, faisons passer un cercle par les trois points A, B, G(fig.89).

Ce cercle sera tout entier sur la sphère cherchée, dont le centre devra, par conséquent, se trouver sur la perpendiculaire élevée en to, centre du cercle, au plan ABC.

pj g Soit I le point de contact

de la droite D et de la sphère, et T la trace de D sur le plan ABC.

Menons la tangente TP au cercle w.

On a TP = T1, comme tangentes issues d'un même point à une sphère. On construit donc TP, et Ton porte cette longueur surD à partir de 1 en Tl ou Tl^; le point I, par exemple, est le point où la sphère cherchée est tangente à D; le plan perpendiculaire à D au point I contient le centre de la sphère ; le centre est donc à l'intersection de ce plan avec la perpendiculaire élevée en w au plan ABC.

Le point 1^ donne une deuxième solution. Pour que le problème soit possible, il faut que le point T soit extérieur au cercle w.

Soient, par exemple, les trois points a {2), b (2), c (8), (fig. 90) a et b étant de même cote îî, et une droite rf, donnée par sa trace horizontale ^^^et Tangle qu'elle fait avec le plan horizontal. Rabattons le plan abc sur le plan horizontal de cote 2, autour de Fhorizontale ab; c est rabattu en c^.

Traçons le cercle circonscrit au triangle àbc^^ de centre lo^.