TROIS POINTS ET UNE DROITE TANGENTE

Cherchons la trace de la droite dt sur le plan des trois points; pour cela coupons par le plan vertical qui le projette horizontalement et prenons ce plan comme plan vertical, en le rabattant sur le plan hori-

Fig. 90.

zontal de cote a ; le point t se projette en /, [tt^ =2), et la droite est projetée en d't^,

La droite ab coupe le plan vertical au point A, la droite fc du plan des trois points la coupe au point g dont la cote est gg'^ et qui se projette en g^; hg" est donc rintersection du plan vertical avec le plan des trois points.

Lé point d'intersection de la droite et du plan est le point (6^ 6) rabattu par homologie en ^^ sur le plan horizontal de cote a autour de ab.

96 SPHÈRE

Menons la tangente 6^/?, et portons cette longueur sur la droite D, à partir de 6, en nous servant de la projection auxiliaire d'.

Portons 6'^' = 0^/?^ ; le point i\ projeté en î, est le point de contact avec la droite d'une sphère répondant à la question.

Menons en ce point un plan perpendiculaire sur la droite; ce plan est i'kq^ Iq est sa trace horizontale.

Relevons oj^ en w par homologie et élevons en o> une perpendiculaire au plan ABC; elle est projetée horizontalement en ioni; sa projection sur le plan vertical /b^ est (o'/w' et sa trace sur le plan de cote 2 est le point [mm').

Prenons la projection de cette droite sur le plan vertical dt\ c'est tù"m^ qui rencontre en o', projeté en o, la trace verticale du plan perpendiculaire en(w') à D.

Le point 0,0' est centre d'une sphère répondant à la question. Son rayon est la vraie grandeur de ot, o'i'^ obtenue en oi^ ii, étant la différence iVc' des cotes de o et de i.

Sphère passant par deux points et tangente à deux plans, — Le centre de la sphère cherchée se trouve dans un plan bissecteur des deux plans, celui de l'angle dans lequel se trouvent les deux points. Soit B ce bissecteur, M et P les deux points. Le plan B passe par le centre de la sphère ; donc le symétrique M^ du point M, par exemple, par rapport à B, appartient à la sphère; nous sommes ramenés à un problème déjà traité : ftiire passer par trois points M,P,Mp une sphère tangente à un plan, l'un des deux plans donnés.