DEUX POINTS ET DEUX DROITES TANGENTES

Sphère passant par deux points et tangente à deux droites qui se coupent. — Soient A et B les deux points; D et A les deux droites qui se coupent.

Le lieu des points équidistants de deux droites qui se coupent est l'ensemble de leurs plans bissecteurs, p^ et Pj, plans menés par les bissectrices perpendiculairement au plan des deux droites.

Prenons, par exemple (3^. Ce plan contiendra le centre de la sphère ; c'est donc un plan diamétral, et la sphère passera par le symétrique A, de A par rapport à ce plan.

On est ramené à faire passer une sphère par A, B, A^, tangente à la droite D ou à la droite A.

L'autre plan bissecteur donne un deuxième couple de solutions.

Sphère de rayon donné, passant par un point, et tangente à deux sphères données. — Lorsque deux sphères sont tangentes, la distance des centres est égale à la somme des rayons ou à leur différence, si les sphères sont tangentes intérieurement. /

Dans la première ; hypothèse, le centre \ de la sphère cherchée sera sur la sphère concentrique à S. dont le rayon égale la

somme des rayons; ce centre devra se trouver également sur une sphère concentrique à S^. Enfin, ce centre est à une distance du point donné M égale au rayon donné. Il se trouve donc sur une sphère décrite, de M comme centre, avec le rayon donné (fîg. 91).

Martin et Pernot. Géométrie cotée. 7

SPHERE

Les points communs aux trois sphères donnent deux solutions, comme il sera montré plus loin. La discussion du problème se fait sans difficulté.

Sphère tangente aux trois arêtes d'un triédre et à un plan donné. — Soient SA, SB, SG les trois arêtes, P le plan donné (fig. 92).

Le centre d'une sphère quelconque tangente aux trois droites se trouve sur le lieu des points équidistants de ces trois droites, c'est-à-dire sur la droite par laquelle passent les trois plans bissecteurs des droites prises deux à deux (nous ne considérons ici que les plans bissecteurs tels que leur intersection soit à J'intérieur du trièdre).

Soit SA cette intersection qu'on obtient facilement en prenant SA= SB = SG et en menant aux points A^ B, G des plans perpendiculaires à SA, SB SG. On obtient ainsi un point w. Sco est le.

lieu des centres des sphères tangentes aux trois droites.

Du point (0, avec un rayon (oA, décrivons une sphère; elle est tangente aux trois Fig. 92. droites et de plus, homo-

thétique de la sphère cherchée, le centre d'homothétie étant le point S.

Menons à la sphère o) un plan tangent Q parallèle àP (problème résolu plus loin). Soit \ le point de contact. Le point de contact de la sphère cherchée avec le plan P est homothétique de X; il est donc à rintersection l de S), avec P.

En menant par / une parallèle au rayon ).(*), c'est-à-

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