PLANS TANGENTS A LA SPHÈRE

Plan tangent à la sphère en un point de sa surface, — On démontre, en géométrie analytique, qu'il existe en général un plan qui contient les tangentes en un point d'une surface à toutes les courbes tracées sur la surface par ce point ; ce plan est, par définition, le plan tangent à la surface.

Pour la sphère, le plan tangent est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact, puisque ce plan tangent contient les tangentes à deux grands cercles passant par le point, tangentes qui sont toutes deux perpendiculaires au rayon de leur grand cercle, c'est-à-dire au rayon de la sphère.

Contour apparent de la sphère. — Le grand cercle qui est dans le plan horizontal du centre se projette horizontalement en vraie grandeur ; tout ce qui est sur la surface se projette à l'intérieur de ce grand cercle.

En un point de ce cercle, le plan tangent est vertical, puisqu'il contient la tangente au grand cercle vertical qui passe par le point et que cette tangente est verticale.

Ce cercle s'appelle le contour apparent horizontal de la sphère.

Si l'on suppose un observateur placé à l'infini dans une direction perpendiculaire au plan horizontal, ce grand cercle sépare les parties de la sphère vues des parties cachées. D'où le nom de contour apparent.

Prendre un point sur la surface de la sphère. — Étant donnée la projection horizontale jn d'un point

CONCOURS APPARENT ET PLAN TANGENT loi

de la surface de la sphère, trouver la cote et le plan tangent en ce point.

Soit m le point donné à l'intérieur du contoui* apparent. Considérons le plan vertical om^ et rabattons-le sur le plan horizontal du centre (fîg. gS), de cote 3.

Le grand cercle déterminé par le plan vertical ont est rabattu suivant le grand cercle de contour apparent, puisque o reste fixe ; si m est la projection d'un point de la sphère, M est rabattu en

on a sa cote vim^ qu'on peut porter au-dessus ou bien au-dessous du plan horizontal du centre. Il y a deux solutions : c'est-à-dire que la verticale du point m rencontre la sphère en deux points, de cotes 3 d-jnm^^ mm^ étant mesuré à Téchelle des cotes.

Fig. 93.

Remarqua. — Nous avons employé, pour trouver l'intersection de la verticale avec la sphère, la même méthode que pour l'intersection d'une droite et d'un plan. Nous avons fait passer par la verticale un plan auxiliaire ; ce plan coupe la sphère suivant un cercle dont nous avons pris l'intersection avec la verticale.

Plan tangent en m. — C'est le pian perpendiculaire en m au rayon am. Supposons 7n/Wj=: i,5, m a

'••^^^«•Wlp^^ipw^^

loa SPHERE

la cote 4>5i en prenant M au-dessus du centre. Le plan tangent a son échelle de pente T parallèle à om, graduée avec Tintervalle réciproque que nous avons construit en mt^ correspondant à un intervalle et demi.

Remarque. — Le plan tangent en un point d'une sphère a pour trace sur le plan horizontal du centre la polaire de la projection du point sur ce plan par

rapport au grand cercle de contour apparent de la sphère (fig. 94).

Soit H le plan horizontal du centre, M un point de la sphère projeté en m.

Le plan tangent contient la tangente au grand cercle G perpendiculaire au plan H, tangente dont la trace est A ; la trace de ce plan tangent est la droite AB perpendiculaire sur om.

On a :

ow.OA = ÔM'=R^

Le point A est un point de la polaire de m par rapport au cercle V situé dans le plan H et AB est la polaire de ce point.

On voit que cette remarque amène à des constructions identiques à celle de la figure 89, interprétées d'une façon différente.

i^jg- 94.

Oraduation de la sphère, — En prenant pour échelle un rayon, on peut se proposer de marquer les points de passage des cercles horizontaux à cote

INTERSECTION D'UNE DROITE ET D'UNE SPHÈRE io3

ronde. Les intervalles ainsi obtenus, quoique inégaux, peuvent servir à tîvMuer approximativement la cote d'un point de la siirlace de la sphère donné par sa projection. Ces cercle t^ sont des lignes de niv^eau de la sphère, et peuvent servir à en ii garer ((ueiqiie peu le relief.

Soit une sphère de ce u Ire o (lV) tangente an plan de comparaison, ce qui vimU dire qire le rayon vaut 5 unités de Téchelle des cotes (fig. g5).

Considérons un plan vertical tw et rabattons-le sur le plan horizontal 5. Le grand cercle de la sphère est rabattu suivant le grand cercle de con- i^'

tour apparent. Divisons le rayon vertical, rabattu en oz\ en cinq parties égales.

Nous obtenons ainsi les points d' de cote 6, d de cote 7, U de cote 8, a' de cote 9 sur le grand cercle vertical; ces points se projettent en rf, c, 6, a et Ton peut tracer les petits cercles horizontaux de cotes 6, 7, 8, 9 passant par ces points ; ces cercles correspondent également à des cercles do même cote relative, mais situés au-dessous du con Ion r appurent.

Intersection d'une droite et d'une sphère. — Trouver sur une droite un point a une </isfanrv fti>nnée d^ un point donné, — Le lien drs points siln^'S ii une distance donnée dNm poini i^st îu spln^^e décrite

Fig. 95.

io4

SPHERE

de ce point comme centre avec la distance donnée pour rayon. Pour avoir ceux de ces points situés sur la droite, on prend l'intersection de la droite et de la sphère. .

Faisons passer par la droite et le centre de la sphère un plan, qui coupe la sphère suivant un grand cercle ; pour avoir les points d'intersection de la droite avec ce grand cercle, on rabat le plan qui les contient sur le plan horizontal ou sur le plan de front du centre de la sphère. On obtient ainsi les

rabattements des points d'intersection, dont on détermine les projections.

Appliquons ce procédé : soit une sphère donnée par son centre o (4) et son rayon ; d la droite donnée par sa projection graduée (fig. 96).

L'horizontale de cote 4 du plan passant par la droite et le centre est om. Rabattons ce plan autour de oin sur le plan horizontal du centre.

Le grand cercle de la sphère est rabattu suivant le cercle o.

Un point p (5) de cote i par rapport au plan horizontal du centre est rabattu en /?,, p^ étant égal à Funité de l'échelle des cotes ; p^m est le rabattement de la droite ; t, et K^ sont les rabattements des points d'intersection. Ils sont projetés en i et /c sur la droite d.

Fig. 96.

SECTION PLANE lo5

On aurait pu également couper par le plan vertical d et rabattre la droite ainsi que le petit cercle d'intersection ; mais la méthode précédente est plus simple.