CYLINDRE ET CONE CIRCONSCRITS

contacts sont sur un cercle qui est la courbe de contact du cône de sommet S circonscrit à la sphère (plan polaire de S par rapport à la sphère).

Détermination du plan polaire, — Menons de s les tangentes sa et sb au cercle o.

Prenons, par exemple, sa. Cette droite, étant tangente au contour apparent, peut être considérée comme la trace d'un plan tangent vertical; ce plan tangent passe par S ; c'est donc un des plans répondant à la question. Son point de contact a a pour cote 2, comme tous les points du grand cercle o ; il en est de même du point b; ab est donc une horizontale de cote 2 du plan polaire.

Prenons une

Fi g. 100.

échelle de pente, parallèle à so^ du plan polaire; le plan polaire étant perpendiculaire à so^ son intervalle est rinverse de l'intervalle de la droite so^ et son échelle de pente est graduée en sens inverse.

On peut donc graduer cette échelle à partir du point 2, les cotes allant en diminuant du côté du points. Sur l'épure ap est l'intervalle delà droite ,J0, ay est l'unité du dessin et a8 l'intervalle du plan.

On ramène ainsi la détermination de la courbe de contact du cône circonscrit à celle d'une section plane de la sphère.

SPJIÈRE

Détermination de La courbe de contact par points. — Plans tangents à une sphère par un point S, ayan leurs contacts dans un plan donné P.

Les points de contact sont dans le plan polaire de S et dans le plan P ; ils sont donc aux points où l'intersection D de ces deux plans rencontre la sphère

(fig. ICfJ).

D'après ce que nous venons de voir, le plan polaire de S est déterminé par l'horizontale ab \i) qui permet de graduer, avec l'inverse de l'intervalle de la droite SN, une échelle de pente du plan polaire ir.

L'intersection de P avec 7t est la droite

Fig. 10 1.

ui> obtenue en coupant par les plans horizontaux de cotes 2 et 3. Pour trouver les points où cette droite rencontre la sphère^ coupons par le plan qui la projette horizontalement, et rabattons ce plan sur le plan horizontal du centre, de cote 2. L'intersection avec la sphère est rabattue suivant un cercle, décrit sur cd comme diamètre ; iw est rabattue en u^ify qui rencontre le cercle en i^ et k' projetés en i et k, points dont on a les cotes i^i et k'k.

Les points projetés en i et k sont les points de contact cherchés ; le plan tangent en I, par exemple, est le plan perpendiculaire en I au rayon 01.

La tangente en i à la courbe de contact serait l'in-

CONE CIRCONSCRIT m

tersection du plan tangent en I avec le plan polaire.

Détermination directe des axes de V ellipse-projection de la courbe de contact du cône circonscrit. — Prenons pour plan vertical auxiliaire le plan os et rabattons-le sur le plan horizontal du centre de la sphère. L'intersection avec la sphère est rabattue suivant le grand cercle de contour apparent (fig. 102).

Le point s est projeté en s'y ss' = 6, différence des cotes de S et 0.

Le plan de la courbe de contact, étant perpendiculaire à so, est perpendiculaire au plan vertical ; sa trace est a'b'y corde des contacts des tangentes issues de s' au cercle o ;• a'b' est donc le diamètre du cercle de contact du cône et de la sphère ; a'b' est la longueur du grand axe de Tellipse - proj ection , puisque ce grand axe n'est autre que le diamètre horizontal du cercle qui se projette en vraie grandeur.

a' et b' projetés en a et b sont les points le plus haut et le plus bas ; a'b' est une ligne de plus grande pente du plan de la courbe du contact ; ab est donc le diamètre du cercle qui se projette suivant la plus petite longueur, c'est-à-dire le petit axe de Tellipse.

Le centre est au milieu tu de ab ; nous connaissons la longueur a'b' du grand axe ; Tellipse est complètement déterminée.

Points sur le contour apparent. — Menons de s les tangentes 5a et s^.

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Figr.

lia SPHERE

a et p sont des points oii le plan tangent, qui est vertical, passe par S; ces points appartiennent à la courbe de contact.

La tangente en a, par exemple^ étant dans un plan vertical, se projette suivant la trace ^a de ce plan vertical ; Tellipse et le cercle de contour apparent ont donc mêmes tangentes en a et p.

Remarque. — Nous avons montré que le contour apparent séparait, pour un observateur placé à Finfîni dans la direction perpendiculaire au plan de projection, les parties de la sphère vues des parties cachées.

OrTellipse rencontre le contour apparent en a et ,8; Tare d'ellipse a^p, qui contient le point le plus haut a est vu par l'observateur: au contraire, l'arc a6j3 est caché, c'est-à-dire que cet arc est sur la portion de la sphère invisible pour l'observateur. Suivant la convention en usage, nous avons tracé cet arc d'ellipse en points ronds.

Plans tangents à la sphère parallèles à une direction donnée, — Cylindre circonscrit. — Gomme nous l'avons dit, pour ramener cette question à la précédente, il suffit de supposer que le point S, par lequel passent tous les plans tangents, s'éloigne à l'infini dans la direction donnée.

Le cône de révolution circonscrit à la sphère devient un cylindre de révolution circonscrit dont les génératrices sont parallèles à la direction donnée, et dont l'axe est la parallèle aux génératrices menée par le centre de la sphère.

La courbe de contact du cône, qui est dans le plan polaire du point S, devient un grand cercle, dont lé

PLANS TANGENTS PARALLELES A UNE DIRECTION u3

plan est perpendiculaire à la direction donnée. Ce plan divise en. deux parties égales les cordes déterminées dans la sphère par des parallèles à la direction donnée ; c'est-à-dire que ce plan, limite du plan polaire lorsque le point S, le pôle, s'éloigne à l'infini dans une direction déterminée, est le plan diamétral de cette direction.

Plans tangents à la sphère parallèles à une direction donnée, ayant leurs contacts dans un plan donné, — Tous les plans tangents répondant à la première condition ont leurs contacts dans le plan diamétral de cette direction ; en prenant l'intersection de ce plan diamétral avec le plan donné, on obtient une droite, dont les points de rencontre avec la sphère sont les points de contact demandés.

Soit o (4) le centre de la sphère, d la direction donnée à laquelle nous menons une parallèle par le centre (fig. io3), droite graduée 4> 5, 6.

Soit P le plan où doivent se trouver les contacts. Menons par le centre un plan perpendiculaire à la direction d ; ce sera le plan diamétral de la direction/^, qui donne la courbe de contact du cylindre circonscrit parallèlement à d, sur laquelle doivent se trouver les points de contact des plans tangents cherchés.

Ce plan diamétral sera déterminé par une échelle de pente parallèle à d^ l'intervalle» du plan étant réciproque de celui de d.

Supposons-la graduée de cette façon, à partir de l'horizontale du centre, qui a la cote 4. - L'intei'section de ce plan avec P est la droite ik.

Pour trouver l'intersection de IK avec la sphère, il suffit de remarquer que le plan 8, qui contient IK, coupe la sphère suivant un grand cercle. Rabattons

Martin et Pernot. Géométrie cotée. 8

ii4

SPHERE

le plan de ce grand cercle autour de Thorizontale h (4) sur le plan horizontal du centre. Le grand cercle est rabattu suivant le grand cercle de contour apparent.

Le point i de la droite reste fixe ; le point K est rabattu en K^, suivant la règle connue : KK' = ool, unité de Téchelle.

îKj rencontre le cercle o en deux points m^ et p^ projetés en m etp sur ik ; ce sont les points cherchés.

Plans tangents à la sphère parallèles à un plan donné, — Le plan tangent est perpendiculaire au rayon qui passe par Te point de contact ; ayant la direction du plan tangent, on mène un rayon perpendiculaire à cette direction ; aux points de rencontre avec la sphère, on a deux points, diamétralement opposés, qui sont les points de contact cherchés. On mène par ces points des plans parallèles au plan donné : ce sont les plans demandés.

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