PLANS TANGENTS COMMUNS A DEUX SPHÈRES

les génératrices sont parallèles à A est le plan vertical ot qui rencontre A au point /. Rabattons ce plan sur le plan horizontal de cote 3. Le grand cercle de la sphère est rabattu suivant le cercle o ; t vient en t^ ; ^^j = 2 ; menons les 2 tangentes t^a^ et tfi^ ; a, et 6j se relèvent en a et b.

6 a la cote 3 — 66^ puisqu'il est du même côté que t c'est-à-dire au-dessous du contour apparent; a a pour cote 3 + aa^ ; « et A, comme b et A, déterminent les deux plans tangents menés par la droite.

Fi g. 109.

Plans tangents communs à deux sphères. — Considérons deux cercles situés dans un même plan (fig. 110). On peut leur mener quatre tangentes communes ;deuxextérieures, qui se rencontrent au point D, centre d'homothétie directe; deux intérieures, qui se coupent au point 1, centre d'homothétie inverse. Les points D et I sont sur la ligne des centres oco.

Faisons tourner la figure autour de Oco.

Les cercles O et co engendreront deux sphères. La droite DA engendrera un cône de révolution de som- ^''^' "^- met D, d'axe DcoO,

circonscrit aux deux, sphères ; la droite lyC engendrera également un cône de révolution, de sommet I, d'axe lOci), circonscrit aux deux sphères.

Ï20 SPHERE

Tous les plans tangents issus de D et de I à Tune des sphères seront tangents à l'autre sphère ; deux sphères ont donc une infinité de plans tangents communs passant par un des deux centres d*homothétie. On peut, par conséquent, s'imposer une autre condition.

Plans tangents communs à deux sphères passant par un point donné. — On joint le poiirtdonné M à l'un des centres d'homothétie I ou D; en menant par MI les plans tangents à Tune des sphères, ils seront tangents à l'autre sphère; la droite MI donne donc deux solutions ; il en est de même pour MD ; il y a en tout quatre solutions.

Si le point M est à l'infini dans une direction donnée , la solution est la même; on joint D et I au point donné à l'infini, c'est-à-dire que l'on mène par D et I des parallèles à la direction donnée.

Les plans tangents menés par ces droites à l'une des sphères sont les plans tangents, communs aux deux sphères, parallèles à la direction donnée.

Pour trouver les centres d'homothétie quand les sphères sont données par leurs contours apparents, on mène deux rayons parallèles OP,ci>/?; en le^ prenant dirigés dans le même sens, la droite Fp qui joint les points homologues rencontre la ligne des centres au centre d'homothétie directe D; en prenant les rayons parallèles OA et (o/;^ de sens inverse, la droite F/?, rencontre Ow au centre d'homothétie inverse I.

Discussion. — Si les droites MI et MD sont extérieures aux deux splières, il y a quatre solutions (fig. III a).

MD étant extérieure, si MI coupe l'une des sphères

PLANS TANGENTS COMMUNS A DEUX SPHERES i!ii

(fig. n I 6) (et par suite l'autre aux points homothétiques), on ne peut mener de plans tangents par MI; il y a deux solutions. Si MI est tangente à Tune des sphères et, par suite, à l'autre, les deux solutions

Fîg. III.

relatives à MI sont confondues (fig. m c) ; ce que nous venons de dire pour MI s'applique à MD.

Si MI et MD coupent les sphères, il n'y a pas de solutions.

Si MI et MD sont tangentes aux sphères (fig. m d), les solutions sont deux à deux confondues « il reste deux plans tangents communs passant par M.

En résumé, le problème, a en général, quatre solutions, deux ou zéro, deux solutions pouvant se confondre. La discussion est la même si le point s'éloigne à l'infini dans une direction donnée.

Plans tangents communs à deux sphères parallèles à une direction donnée. — Les deux^sphères

laa SPHERE

sont données par leurs centres o de cote 3,5 et « (2) (fig. 112); la direction est donnée par sa projection et Tangle 8 qu'elle fait avec le plan horizontal.

Prenons, par exemple, le centre d'homothétie directe d ; menons par ce point une parallèle dl^ à la direction donnée.

Il faut mener par cette droite les plans tangents à Tune des sphères, à la sphère o, par exemple.

Fig. 112.

Cherchons sur la droite projetée en dl^, dont nous connaissons l'angle avec le plan horizontal, le point de cote 3,5 égale à celle du centre o.

La cote du point projeté en d sur oa est obtenue en dd' par le rabattement du plan vertical oa sur le plan horizontal. La différence des cotes de D et de 0 est 80'.

Rabattons le plan vertical dl^ sur le plan horizontal de D. La parallèle à la direction donnée menée par D est rabattue en ds'^ faisant Tangle 0 avec dl^.

PLANS TANGENTS COMMUNS A TROIS SPHÈnSS ii^

Prenons sur ce rabattement le point s'y tel que ss' = So', nous avons en s la projection du point qui a la même cote que o.

Le cône circonscrit de sommet s a son cercle de contact dans le plan vertical ^ qui rencontre dl^ en if, de cote W + dd'.

Rabattons le plan vertical o(^ sur le plan horizontal du point o, et menons du rabattement t^ du point T {tt^ est la cote de T par rapport au plan de cote w ; on a donc tt^ = //'+ dd' — oo') les tangentes au petit cercle rabattu autour de son diamètre.

Une de ces tangentes est t^q^ ; le point de contact projeté en q (de cote gq^-i-oo') détermine, avec la droite ds^ un des plans tangents cherchés.

On aurait les autres solutions de la même manière.

La discussion est la même que dans le problème précédent, les droites MI etMD étant remplacées par les parallèles à la direction donnée menées par les points I et D.

Plans tangents communs à trois sphères. — Soient Sj, S^, S3 les trois sphères;

Ij et Dj, les centres d'homothétie de S^, et S3;

Ig et Dg, ceux de S3 et S^ ;

I3 et D3, ceux de S, et S^.

On démontre, en géométrie, que les six centres d'homothétie sont sur quatre droites :

D,D,D3, 1,IA, hh^i. hlfir

Le nombre des centres inverses est toujours pair; celui des centres directs toujours impair.

D'autre part, les plans tangents communs à S, etS^ doivent passer par I3 ou Dg; les plans tangents com-

1 24 SPHÈRE

muns à S^ et Sg passent par I ou D: ceux qui sont tangents à S, et Sg passent par I^ ou D^.

Un plan tangent commun à S,, S^ Sg doit donc contenir une des quatre droites citées plus haut.

La condition est suffisante, c'est-à-dire que si Ton mène, par l'une des quatre droites, un plan tangent à S,, par exemple; ce plan sera également tangent à Sj et S,.

Prenons la droite IJjDg; le plan tangent à S„ mené par cette droite, passe par le point Dg, centre d'homothétie direct de S, et S^^; ce plan est donc tangent extérieurement à S, et S^, c'est-à-dire qu'il les laisse d'un même côté; passant par I^, le plan tangent à Sj est tangent à Sg, S^ et S3 étant de côtés différents par rapport au plan tangent. Donc le plan est tangent aux trois sphères.

Il est aisé de voir, d'après le choix de la droite par laquelle on mène les plans tangents, comment les sphères sont situées par rapport à ces plans.

Comme il y a quatre droites et que, par chacune d'elles, on peut mener deux plans tangents à l'une des sphères, il peut y avoir huit solutions.

Discussion. — Les quatre droites sont D^D^Dg,

l.l.Dg, ijgD,, igl^D,.

Si l'une de ces droites rencontre une des sphères, elle rencontrera forcément les autres, puisqu'elle est à elle-même son homothétique dans les trois systèmes ; les points homothétiques des points de rencontre avec la première sphère devront se trouver aussi sur cette droite et sur les autres sphères.

Chaque fois qu'une des quatre droites rencontre des sphères, cela supprime deux solutions; si l'une des droites est tangente à Tune des sphères et, par