POINT COMMUN A TROIS SPHERES

points communs. Il y en a deux, qui sont les points de rencontre A avec Tune des sphères.

Soient les trois sphères S^, S^, Sg de centre o^, Oj, o, dont on connaît les cotes (i) ; (2, 5) ; (4) (fig, 1 15).

Rabattons le plan des centres sur le plan horizontal qui passe par o^. Pour avoir l'horizontale du plan passant par o^, prenons sur o^ O3 le point qui a la cote du point Oj.

A cet effet, rabattons le plan vertical 0^0^ sur le plan horizontaldu point Oj. Dans ce rabattement, OgO'g = 4 — 1 = 3; OjO'3=2,5 — 4 = — i^^'

Le point h est la trace sur le plan horizontal de Oj, de la droite o.p^'^ oji est l'horizontale cherchée.

Eff*ectuons le rabattement autour de ojt,

Og est rabattu en w^, O3 en u^ sur la droite uji.

Traçons les trois grands cercles des sphères contenus dans le plan i^abattu; o^ est resté fixe ; décrivons les deux autres de u^ eiu^ comme centres.

Le centre radical des trois cercles est le point a^\ la perpendiculaire élevée en ce point au plan des centres est Taxe radica^l des trois sphères.

Les deux points communs aux trois sphères sont sur cet axe radical, placés symétriquement par rapport au plan des centres.

Cherchons la cote d'un de ces points par rapport au plan des centres, qui, coïncide actuellement avec le plan horizontal du point o^.

Pour cela, rabattons un plan radical quelconque, par exemple a^p^, sur le plan horizontal o^. Le petit cercle déterminé dans la sphère o, est rabattu suivant le petit cercle décrit sur a,[3^ comme diamètre; la cote de «,, considéré comme la projection d'un point commun aux trois sphères, est a^^A^ au-dessus ou au-dessous du plan des centres.

Martin et Pernot. Géométrie cotée. y

SPHERE

Ramenons la figure dans sa position primitive, le point a^ du plan des centres se projette enfl, obtenu, par homologie, à Taide de la droite a^u^.

Il faut élever en ce point une perpendiculaire au plan o^Ofi^ et prendre sur cette perpendiculaire, de part et d'autre du plan, des longueurs égales à a^X^.

loi

Fig. Il 5.

Pour faire cette construction, nous prenons comme plan vertical le plan aa^ contenant la perpendiculaire et nous le rabattons sur le plan horizontal du point o,. Le point O3 se projette en o"', la trace du plan des centres est ao''. Le point a est projeté en a'.

Sur la perpendiculaire nous prenons aW = a'j9' ==rt^jA^; m' et p sont les projections verticales des

'vtinc^î

TRIÈDRE TRÏRECTANGLE PAR TROIS POINTS DONNÉS l3i

points cherchés, leurs projections horizontales sont m etp.

Application. — Construire un trièdre trirectangle tel que ses arêtes passent par trois points donnés A, B, C.

Nous avons résolu ce problème directement; on peut aussi interpréter les mêmes constructions en ramenant la question à la précédente.

Supposons le plan ABC horizontal (fig. 1x6).' ^

Le lieu des som- / / mets des angles / / \ / y ^\\^^ droits dont les cô- / / \ // \ -T-^^

tes passent par B [ / -5 }

et G est une sphère ^\'

S^ décrite sur BC ^^^^ „5

comme diamètre.

De même, les sommets des angles droits dont les côtés passent par G et A sont une sphère Sg décrite sur CA ; le sommet cherché est aussi sur la sphère S^ décrite sur AB.

Le sommet du trièdre est donc à Tintersection des trois sphères S,, S^, S3.

Le plan radical des sphères 83 et Sg passe par le point A; de plus, il est perpendiculaire à la ligne des centres O3 0^, qui est parallèle à BG.

Donc la trace du plan radical R^ de S^ et Sg est la hauteur du triangle ABC issue du point A.

De même, le plan radical Rg de S^ et S3 passe parB et a sa trace perpendiculaire à GA ; l'intersection de

|3'2 SPHÈRE

Rj et Rg, et, par suite, de R^, R,, R3 est la yerticale qui se projette au point de concours des hauteurs du triangle ABC.

Pour avoir les points communs aux trois sphères, cherchons les points de la sphère S^, par exemple, qui sont projetés en s. Coupons par le plan vertical 0^6', et rabattons ce plan sur le plan ABC. Le grand cercle de la sphère S, est rabattu suivant le cercle de rayon O^ C ; sS^ est la cote cherchée.

On aura les deux points communs aux trois sphères en portant la cote au-dessus ou au-dessous du plan ABC.

Si le plan ABC n'est pas horizontal, on opère comme on Fa déjà vu. On voit .que les trois sphères ne se couperont que si le triangle ABC n'a que les angles aigus.

CONES ET CYLINDRES

DÉFINITIONS. — On appelle cône ou surface conique la surface engendrée par une droite assujettie à passer constamment par un point fixe et à se mouvoir suivant une loi déterminée. Le point fixe s'appelle le sommet du cône.

La droite variable est une génératrice du cône.

Si, par exemple, une droite, passant par le point S (fig. 117), est assujettie à rencontrer une courbe C, plane ou gauche (on appelle courbe gauche une courbe dont tous les points ne sont pas dans un même plan), le lieu géométrique de la droite SM est, par définition, un cône dé sommet S, dont les droites SM^, SM2, etc., sont les génératrices ; la courbe G prend le nom de directrice du cône.

On peut encore imposer à la droite la condition de rester constamment tangente à une surface F : dans ce cas, le cône de sommet S engendré par la génératrice SM est circonscrit à la surface (fig. 118).

Le cylindre ou surface cylindrique est un cas particulier du cône, celui où le point fixe S s'éloigne

Fig. 117.

l34 CONES ET CYLINDRES

à Finfini dans une direction donnée, qui est celle

des génératrices.

Un cylindre est donc la surface engendrée par une droite, appelée génératrice, qui se meut parallèlement à elle-même suivant une loi déterminée. De même que pour Fig. ii8. , . , . ^ .

le cône, cette loi peut varier

d'une infinité de manières. Si, par exemple, les génératrices rencontrent toujours une courbe donnée, tout en restant parallèles à une direction fixe^ cette courbe est la directrice du cylindre engendré par la droite.

Un cône ou un cylindre sont déterminés, si Ton donne le sommet du cône ou la direction des génératrices du cylindre, en même temps que la loi du déplacement de la génératrice.

Plan tangent en unpoint. — Nous avons déjà rappelé la définition du plan tangent en un point d'une surface ; c'est le lieu des tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface en ce point.

Pour le cône et le cylindre, la génératrice peut être considérée comme une courbe tracée sur la surface ; elle est à elle-même sa tangente, elle fait donc partie du plan tangent. La détermination de ce plan tangent repose sur le théorème suivant :

Théorème. — Le plan tangent à un cône ou a un cylindre est le même tout le long de la génératrice.

Soit un cône déterminé par son sommet S et sa directrice G (fig. 119).

Prenons une génératrice SV et un point M quel-