PLAN TANGENT

conque sur cette génératrice. Nous allons montrer que le plan tangent en M est le même que le plan tangent en V. Gomme le point M est quelconque, le théorème sera démontré.

. Traçons sur la surface du cône une courbe quelconque D passant par le point M.

Considérons une deuxième génératrice SV qui rencontre en M' la courbe tracée.

Menons les sécantes VV et MM'. Supposons que la génératrice SV se rapproche indéfiniment de SV; pendant ce mouvement, les droites SV, MM', VV restent toujours dans un même plan ; il en sera de même à la limite (si cette limite existe, ce qui est l'hypothèse) ; or, à la limite, la sécante VV devient la tangente VT en V à la courbe C ; en même temps, la sécante MM' devient la tangente MP en M à la courbe D.

Les trois droites SV, MP, VT sont donc dans un même plan ; ce plan est, par définition, le plan tangent en V, puisqu'il contient la génératrice SV et une tangente VT à une courbe tracée sur la surface ; c'est égalementle plan tangent en M, puisqu'il contient SM et la tangente MP. Donc les plans tangents en M et en V sont les mêmes, et le plan tangent est le même tout le long de SV.

Si Ton cherche le plan tangent en M, il est donc inutile de tracer une courbe en M ; le plan tangent en ce point est déterminé par SM et la tangente au point où cette génératrice rencontre la directrice.

Fig. 119.

i36 CONES ET CYLINDRES

Cas du cylindre. — Soit un cylindre déterminé par sa directrice G et la direction des génératrices (fig. 120).

Le plan tangent en un point quelconque M de la génératrice G est le même que le plan tangent en V- La démonstration est la même que pour le cône.

Les sécantes MM' et W restent dans un même plan avec G, quand G' se rapproche indéfiniment de G.

A la limite, le plan déterminé par G et la tangente YT est donc confondu avec le plan déterminé par G et la taqgente MP ; c'est-à-dire que les plans tangents au point V et en un point M quelconque sont confondus, ce qu'on exprime encore en disant que le plan tangent est le même tout le long de la génératrice.

Pour avoir le plan tangent en M à un cylindre dont on connaît la directrice, on mène la génératrice MV ; le plan tangent en M est déterminé par MU et la tangente VT.

Remarque. — Cette démonstration est exactement celle que nous avons donnée, sous une autre forme, pour établir qu'en général la projection conique ou cylindrique de la tangente à une coiirbe est la tangente à la projection de cette courbe.

Étant donnée une des projections d'un point d'une surface conique ou cylindrique, déterminer Vautre et le plan tangent en ce point. — On donne