DÉTERMIN'ATION DES PLANS TANGENTS

Plans tangents à un cône par un point extérieur à la surface. — Directrice plane. — Le plan tangent à un cône en un point contient la génératrice passant par ce point ; donc tout plan tangent à un cône passe par le sommet.

Par suite, les plans tangents issus du point P contiendront la droite SP.

Soit T la trace de cette droite sur le plan de la

directrice (fîg. ia4).

La trace d'un plan tangent sur le plan de la directrice est une tangente à cette courbe et doit passer par T; c'est donc une tan- Yig^ 1^4. gente menée de T à la

courbe C, soit TM; le plan déterminé par SP et la tangente TM est tangent aii cône tout le long de la génératrice SM.

Il y a autant de solutions qu'on peut mener de tan-

PLAN TANGENT DE DIRECTION DONNÉE l4i

gentes du point T à la courbe C. Le problème est impossible, si Ton ne peut pas mener de tangentes du point T ; il en est ainsi, par exemple, si, la directrice étant un cercle, T est à l'intérieur du cercle.

Plan tangent à un cône parallèle à une direction donnée, — Se donner une direction, c'est se donner un point à l'infini bien déterminé.

La solution est donc la même que pour la question précédente.

On joint le sommet du cône au point donné à Tinfini, c'est-à-dire qu'on mène par le sommet du cône une parallèle à la direction donnée ; cette droite est la droite SM de Tépure précédente.

On prend la trace de cette droite sur le plan de la directrice et, par le point ainsi obtenu, on mène des tangentes à la directrice.

Ces tangentes, avec la parallèle à la direction donnée menée par le sommet du cône, déterminent les plans tangents.

Il n'y a donc rien à changer à la solution précédente ; au lieu de joindre S à un point M, on mène SM parallèle à la direction donnée.

Epure. — Soit un cône de sommet s (6) dont la directrice, située dans le plan P, est donnée par son rabattement sur le plan dç comparaison (flg. 124); proposons-nous de déterminer les plans tangents parallèles à la direction r/, graduée. Menons par s la parallèle 0 k cl, graduée à partir de s avec le même intervalle. Soit t Tintersection de 0 avec P, déterminée suivant la méthode habituelle ; le point / est rabattu en ^,, en supposant, pour fixer le sens du rabattement, que la directrice est, dans Tespace, au-

CONES ET CYLINDRES

dessus du plan horizontal ; menons de t^ les tangentes du rabattement de la directrice ; soit t^a^^ une de ces tangentes ; elle est relevée suivant tk^ k étant le

Fig. ia5.

point fixe où ^,«, rencontre Taxe du rabattement. Le point s (6) et tk déterminent l'un des plans tangents. Dans le cas de la figure, la directrice étant un cercle, il y aurait deux solutions. La génératrice de contact est sUy rt, se relevant en a sur tk et sur la perpendiculaire à Taxe du rabattement.

Plan tangent à un cylindre par un point extérieur, — La méthode à employer est la même que pour le cône, en considérant le cylindre comme un cône ayant pour sommet le point à l'infini dans la direction des génératrices ; on peut l'établir directement.

Tout plan tangent à un cylindre contient une génétrice ; donc le plan cherché doit être parallèle aux génératrices ; par suite, il contient la parallèle MT aux génératrices menée par le point M.

La trace du plan tangent cherché sur le plan de la