PLAN TANGENT PAR UN POINT

directrice doit être tangente à la directrice ; ce sera une des tangentes menées de la trace T de la droite MT à la directrice (fig. 126).

Un de ces plans tangents est déterminé par la tangente TU et la droite MT.

La génératrice de contact ^'^' '^^•

du plan tangent est celle qui passe par le point U.

Epure. — Soit un cylindre déterminé par sa directrice c, située dans le plan P, une génératrice g graduée (fig. 127).

On demande les plans tangents passant par' un point m (o).

Menons par le point M une parallèle mp à g^ et cherchons son intersection avec le plan P, en rabattant sur le plan horizontal le plan vertical mp. L'intersection avec P est rabattue en bb^ la parallèle aux génératrices en ma^. Nous obtenons le point /,, projeté en t.

Les projections des tangentes sont les tangentes à la projection ; prenons la tangente tr\ cette droite est déterminée par la cote tt^ de t et la cote du point /• situé dans le plan P: elle donne avec le point m un des plans tangents demandés. La génératrice de contact est /"y.

La deuxième tangente donne une autre solution.

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l44 CONES ET CYLINDRES

Plans tangents à un cylindre parallèle à une direction donnée. — Un plan tangent répondant à la question doit être parallèle aux génératrices et parallèle à la direction donnée ; il est donc parallèle à un plan contenant des parallèles à ces deux droites.

Sa trace sur le plan de la directrice devra être tangente à cette courbe ; ayant la direction de cette trace, on mène à la directrice les tangentes parallèles. Chacune de ces droites détermine, avec la génératrice qui passe par le point de contact, un des plans tangents demandés.

Pour montrer que cette solution est toujours la même que les précédentes, au point de vue théorique, on peut l'expliquer de la manière suivante :

Le plan tangent cherché doit contenir le point à Tinfini sur les génératrices et le point à Tinfini dans la direction donnée. La droite à Tinfini de ce plan, c'est-à-dire la direction du plan tangent, est déterminée ; ce plan est parallèle aux génératrices et à la direction donnée. Le reste de la solution s'explique de la même façon. On est conduit à la rès[le suivante :

On mène par un point de l'espace une parallèle aux génératrices et une parallèle à la direction donnée ; on prend la trace du plan ainsi déterminé sur le plan de la directrice ; on mène à la directrice des tangentes parallèles à cette trace ; chacune de ces tangentes donne une solution, en lui adjoignant la généi*atrice de contact correspondante.

Problèmes impossibles. — 11 est facile de se rendre compte de l'impossibilité des problèmes suivants :

Plan tangent à un cône ou à un cylindre par une droite^ si la droite ne passe pas par le sommet du