IMPOSSIBILITE DE CERTAINS PLANS TANGENTS

cône ou n'est pas parallèle aux génératrices du cylindre.

Plan tangent parallèle à un plan^ si le plan parallèle mené par le sommet du cône n*est pas tangent, ou si Je plan n'est pas parallèleaux génératrices du cylindre.

Plan tangent commun à deux cônes qui n'ont pas même sommet, parce que ce plan tangent doit conte» nir la droite des sommets et avoir pour trace sur le plan des directrices une tangente commune aux deux directrices passant par la trace de la droite des sommets, condition qui n'est réalisée que dans des cas particuliers, par exemple, si les deux cônes sont homothétiques, ou encore si les deux cônes ont une directrice plane commune.

De même, plan tangent commun à deux cylindres^

Soient, par exemple, deux cônes homothétiques (fig. 128) ; les traces des deux cônes sur un même

Fi g.' ia8.

Fig. 129.

plan sont homothétiques, le centre d'homothétie étant la trace de la droite des sommets. Les tangentes communes aux directrices menées de T déterminent, avec la droite des sommets, des plans tangents cpm^ muns aux deux cônes.

Prenons deux cylindres ayant une directrice plane commune (fig. 129). Menons par un point de l'espace

Martin et Pernot. Géométrie cotée. 10

i4S CONES ET CYLINDRES

des parallèles aux génératrices des deux cylindres ; la trace du plan de ces parallèles est t^ ; en menant T, parallèle à ^,, tangente à la directrice, T détermine avec les génératrices de contact un plan tangent commun aux deux cylindres.

Contours apparents des cônes et des cylindres.

— Les contours apparents des cônes ou des cylindres sur un plan sont les traces sur ce plan des plans tangents parallèles à une perpendiculaire au pla^n. Soit, par exemple, un cône de sommet S, ayant, pour fixer les idées, sa directrice dans le plan horizontal.

Menons au cône les plans tangents parallèles à une verticale ; les génératrices de contact sont Sin etSp

(fig. i3o).

Pour un observateur placé à rinfini dans la direction perpendiculaire au plan, toute la partie du cône située au-dessous du plan mSp sera cachée ; au contraire, la partie située ^^«- ^^^' au-dessus sera vue. Les

droites sni et sp^ projections de Sm et Sp, forment le contour apparent horizontal du cône.

Par exemple, une génératrice Sa, telle que le point û soit du même côté que l'observateur par rapport au plan rnSp^ sera vue ; au contraire S6, située de l'autre côté, sera cachée à l'observateur.

Il en sera de même pour une courbe tracée sur la suriJace du cône.

Prenons la directrice, par exemple ; Tare niap sera

CONTOURS APPAREtnrS i47

VU ; l'arc mbp sera caché pour Tobservateur placé suivant la convention indiquée : sur le dessin cet arc mbp sera figuré en points ronds.

Pour un cylindre, le contour apparent horizontal, par exemple^ se compose des projections des deux génératrices de contact des plans tangents menés au cylindre parallèlement à une verticale.

En résumé, la détermination des contours apparents revient à celle des plans tangents parallèles à une direction donnée, qui est verticale.

Théorème, — Quand une courbe tracée sur une surface rencontre le contour apparent de la surface sur un plan^ la projection de la courbe sur le plan est tangente au contour apparent.

Nous venons de montrer qu'en tous les points du contour apparent sur un plan le plan tangent est perpendiculaire à ce plan. Par exemple, en un point du contour apparent horizontal, le plan tangent est vertical.

Tout ce qui est dans un plan vertical se projette sur sa trace horizontale ; la tangente à la courbe appoint de rencontre avec le contour apparent est dans ce plan vertical ; d'autre part, la tangente à la projection est la projection de la tangente ; donc la tangente à la projection de la courbe au point considéré est la trace du plan tangent vertical, c'est-à-dire, la projection' de la génératrice de contour apparent qui passe par ce point.