PLANS TANGENTS

Plans tangents aux cônes, — Soit un plan tangent en un point M à une surface conique. Menons le parallèle qui passe par ce point, et considérons la sphère de raccordement le long de ce parallèle (fig. 143). Le plan tangent en M est aussi tangent à

^ la sphère ; il est perpendiculaire au rayon wM.

Cette droite wM est une droite du plan méridien passant par Taxe et la génératrice SM; donc le plan méridien est perpendiculaire au plan tangent.

Le rayon wM est la nor-

Fig. 143. , . -1, , 1

maie au point M a la surface ; lorsque SM, en tournant autour de SA, engendre le cône, a> reste fixe, la normale toM décrit un cône de révolution dont le sommet oj est sur l'axe.

Oh en conclut que les normales en tous les points d'un parallèle rencontrent Taxe au même point w, qui est le sommet du cône des normales, et en même

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temps le centre de la sphère de raccordement avec, le cône le long du parallèle considéré.

Cylindre. — Soit un point M, traçons le cercle perpendiculaire à Taxe passant par M, et considérons la sphère de raccordement avec le cylindre le long de ce cercle ; le centre de la sphère est au centre du cercle (fîg. ï44)-

Le plan tangent au cylindre en M est tangent à la sphère ; il est donc perpendiculaire au rayon wM, qui est contenu dans le plan méridien passant par Taxe wA et la génératrice.

Ce plan méridien est donc perpendiculaire au plan tangent en M ; la normale en M ail cylindre est (oM.

Lorsque la génératrice, en tournant autour de SA, engendre le cylindre, les normales le long du parallèle au point M passent encore par un point fixe tu, sur Taxe, qui est le centre de la sphère inscrite ; le cône des normales se réduit à un plan perpendiculaire à Taxe, qui est le plan du parallèle du point M.

Plan tangent en un point, — D'après les considérations qui précèdent, il suffit de mener par la génératrice qui passe par le point un plan perpendiculaire au méridien, c*est-à-dire au plan qui passe par Taxe et le point donné.

Problème. — Étant donné la projection horizontale d'un point d'un cône de révolution, trouver la

l'os CONES ET CYUNVRES DE RÉVOLUTION

projection verticale et le plan tangent en œ point. — On peut se servir d-une sphère inscrite, dont nous avons montré précédemment la détermination.

Soit m la projection donnée, S le sommet du côHe ; on coupe par le plan vertical ^m; ce plan donne dans la sphère un cercle auquel les génératrices projetées suivaut sm doivent être tangentes ; on mène par le sommet des tangentes à ce cercle ; on obtient deux génératrices sur lesquelles se trouvent les points projetés en m. Nous avons montré comment on trouve le centre et le rayon d'une sphère inscrite dans un cône de révolution donné d'une manière quelconque.

Cylindre de révolution. — Etant donnée la projection m d^un point du cylindre^ trouver sa cote, et le plan tangent. — Nous supposons qu'on a déterminé d'abord une sphère inscrite dans le cylindre (fig. i45).

Soient donc une sphère de centre o (5) et oo Taxe d'un cylindre circonscrit.

On demande de déterminer les cotes des points du cylindre projetés en ni.

Menons mg parallèle à oo et coupons par le plan vertical mg-; prenons ce plan pour plan vertical auxiliaire en le rabattant sur le plan horizontal du pointa, de cote 5.

. Le petit cercle d'intersection du plan vertical avec la sphère est projeté en vraie grandeur; il faut mener à ce cercle des tangentes parallèles à l'axe, dont la projection sur le plan vertical est o' l', obtenue en portant 10^=2 différence des cotes.

Les contacts de ces tangentes sont sur le rayon perpendiculaire en/?' et ç'; m est projeté sur ces tangentes, qui sont les génératrices du cylindre proje-