PROBLEMES SUR LES PLANS TANGENTS

Tous ces plans sont tangents à une sphère 0 inscrite dans le cylindre.

Soit P le plan donné.

Circonscrivons à la sphère 0 un cône d'axe perpendiculaire à P et dont le demi-angle au sommet •soit le complément de l'angle donné a.

Il suffit, pour cela, de mener par O une perpendiculaire à P et de tracer un rayon faisant avec os l'angle a; en menant la tangente au grand cercle, on obtient le sommet S du cône.

Les cercles de contact du cône et du

Fig. i5i

cylindre se coupent en A et B ; les plans tangents à la sphère en ces points répondent à la question.

On obtient les points A et B en prenant la droite d'intersection des plans des cercles de contact du cône et du cylindre avec la sphère, puis les points d'intersection de cette droite avec la sphère.

Cas particulier. — Si le plan P est le plan horizontal, on peut énoncer le problème :

Mener à un cylindre de révolution un plan tancent de pente donnée. — Soit un cylindre de révolution dont les générp.trices ont la pente 1/2, circonscrit à une sphère dout le centre o est dans le plan horizontal (fig. i5i).

L'axe du cylindre est projeté suivant 00.

174 CONES ET CYLINDRES DE RÉVOLUTION

Prenons o5 comme plan vertical auxiliaire et rabattons-le sur le plan horizontal.

L'axe est projeté en o5' telle que tang5o8 = — (il

suffit de prendre a^ égal à la moitié du rayon de la sphère).

La courbe de contact du cylindre et de la sphère est le plan de bout D'.

Circonscrivons à la sphère un cône d'axe vertical

Fig. i52.

os' ; s' est obtenu en menant le rayon og' tel que g' os' soit l'angle correspondant à la pente donnée.

La courbe de contact du cône est le cercle situé dans le plan horizontal f^h' projeté suivant un cercle de centre o et de rayon og.

La projection horizontale de l'intersection de D' et de h' rencontre ce cercle en deux points a et 6, dont la cote est celle de g'.

Le plan tangent en un de ces points, «, par exemple, est déterminé par le point s projeté en o (de cote os') et la tangente horizontale ah (de cote gg^)-

Condition de possibilité. — Il faut que D' coupe

g'h' entré g' et h'j c'est-à-dire que la pente donnée soit supérieure à la pente de la droite 8,

Nombre des solutions. — Si la condition précédente est remplie, il y a quatre solutions : deux qui sont données par les points a et 6 et deux autres données par les points diamétralement opposés : ces solutions peuvent être confondues deux à deux. Si la pente donnée est égale à celle des génératrices, on obtient les deux plans tangents parallèles pour lesquels la génératrice est une ligne de plus grande pente.

Intersection d'un cône ou d'un cylindre de révolution avec une sphère ayant son centre sur Faxe. — Prenons comme plan du tableau un plan méridien.

Soient M et P les points d'intersection d'une génératrice avec le grand cercle de la sphère (fig. i53 et

Si nous faisons tourner les figures autour de Taxe

Fig. 154.

S, M et P engendreront chacun un cercle qui sera à la fois sur la sphère et sur la surface ; l'intersection

CONES ET CYLINDRES DE REVOLUTION

se compose donc de deux cercles dont le plan est perpendiculaire à Taxe, c'est-à-dire de deux parallèles, qui sont confondues suivant le cercle de contact, si la sphère est inscrite dans la surface.

Dans le cas du cône, si le point M se rapproche du point S, rintersection se compose toujours de deux cercles; à la limite, lorsque la sphère passe par le point S, le second cercle est un cercle de rayon nul, réduit au point S, mais situé dans le plan perpendiculaire à Taxe au point S, c'est-à-dire dans le plan tangent à la sphère au point S.

Intersection de deux cônes de révolution de même sommet. — Soient deux cônes sg^ d'axe sd et ^y, d'axe 58 (fig. i55).

Coupons les deux cônes par une sphère ayant pour centre le sommet commun. Elle détermine sur chacun des cônes deux cercles qui se coupent, en général, en huit points, diamétralement opposés deux à deux.

En joignant ces points au point S, on obtient quatre génératrices communes aux deux cônes, SA, SB, se, SD.

Si un cercle déterminé dans le cône s^ ne rencontre qu'un des deux cercles d'intersection de la sphère avec le cône S^/, il n'y a que deux génératrices communes réelles.

Si les cercles ne se rencontrent pas, il n'y a pas de génératrices réelles communes aux deux cônes. Nous avons figuré les trois cas qui peuvent se pré-