DROITE ET PLANS FAISANT DES ANGLES DONNES

cercles dont run est dans le plan de bout (par rapport au nouveau plan vertical) p'ô'.

Nous allons prendre Tintersection du plan r^t^ et du plan p'ô', puis l'intersection de la droite ainsi déter-

Fig. 157.

minée avec Fun des cercles, par exemple avec le cercle du plan^/'Y,

Les traces des deux plans sur le plan horizontal de cote 2 se rencontrent au point t.

En coupant par le plan horizontal de projection, c'est-à-dire par le plan horizontal dont la trace passe par/?' sur le plan vertical 5âJ et par ç'' sur le plan vertical ^S, on obtient deux horizontales qui se rencontrent en u.

tu est la projection horizontale de l'intersection des deux plans.

CONES ET CYLINDRES DE RÉVOLUTION

. Rabattons le plan rT sur le plan vertical sd ; t' reste fixe, m, u est rabattu en w, à une distance égale à son éloignement à.u.

t'u^ rencontre lé rabattement du cerclé en a^ et b^ projetés en a' et b' sur i^t' et en « et 6 sur ut.

sa et 56 sont deux droites répondant à la question.

Mener par un point une droite qui passe à des distances données de deux points donnés. — Soient M et P les deux points ; d et /'les distances données ; S le point par lequel doit passer la droite cherchée. Toutes les droites issues du point S qui sont aune distance d du point M sont tangentes à une sphère de centre M et de rayon d ; devant être à une distance /• de P, elles sont tangentes à la sphère de centre P et de rayon r.

Les droites cherchées seront les génératrices communes aux deux cônes qui représentent le lieu des

tangentes issues de S à la sphère M et à la sphère P.

Nous supposerons les trois points dans le plan horizontal (fig. i58). Soient les points a, ô, s.

Des points a etb comme centre, décrivons deux sphères avec les distances données comme rayons.

Les cônes circonscrits sont coupés par le plan horizontal suivant les droites ^a, 5^, ^Y, 58. Pour avoir les génératrices communes, coupons-les par une sphère

Fig. i58.

DROITE A DISTANCES DONNÉES DE DEUX DROITES i8i

de centre s\ elle donne deux cercles verticaux a^, y8 se coupant en deux points projetés en m.

sm est une des droites cherchées, la cote du point /w étant m/Wj, mesurée à Téchelle du dessin.

Mener par un point une droite passant à des distances données de deux droites données. — Soient M le point, D et A les deux droites.

Le lieu des droites passant par M et aune distance donnée de D se compose des plans tangents menés par M au cylindre ayant D pour axe et pour rayon la

Fi g iSq.

distance donnée. De même pour les droites passant à une distance donnée de A. Les droites cherchées seront donc les intersections des plans tangents ixienés par M aux deux cylindres ayant pour axes D et A et pour rayons les distances données. Il y a quatre solutions.

i8a CONES ET CYLINDRES DE RÉVOLUTION

Supposons les droiteè D et A dans le plan horizontal le point M quelconque. Soit m (3) sa projection (fig. iSg).

Pour mener le plan tangent au cylindre d'axe D, prenons pour plan vertical le plan nùs perpendiculaire à D.

Ce plan coupe le cylindre suivant un cercle de centre X et de rayon connu, le point M se projette en /w,, et la trace duplan tangent est/u,/?^.

Pour le deuxième cylindre, la trace du plan tangent est m^q^. Par suite, l'intersection des deux plans tangents est la droite mr connue, puisqu'on a les cotes des points m (3) et r (o).

TRIÈDRES

Rappelons d'abord quelques propriétés des trièdres démontrées en géométrie.

Un trièdre renferme six éléments, trois faces et trois dièdres.

Dans un trièdre, la somme des faces est inférieure à quatre droits.

Une face quelconque est plus petite que la somme des deux autres.

La somme des dièdres est comprise entre deux droits et six droits.

Un dièdre quelconque, augmenté de deux droits, est supérieur à la somme des deux autres.

Trois quelconques des six éléments étant donnés, le problème de la construction du trièdre est déterminé ; il peut comporter plusieurs solutions, comme nous le verrons par la suite.

La résolution des trièdres comprend donc six cas. On peut donner :