Trois dièdres

Les cas i et 6, 2 et 4» 3 et 5 peuvent se ramener Tun à l'autre par la considération des trièdres supplémentaires ; on peut aussi les résoudre directement.

Premier CAS. — On donne les trois faces. — Soit ASB = c la plus grande face située dans le plan horizontal (fig. 160); la troisième arête cherchée SC est sur un cône d'axe SA, dont le demi-angle au sommet

^TT-^ Cg

Fig. 160.

est b ; soit SG^ la génératrice de ce cône située dans le plan horizontal (l'angle G, SA = 6 ; SG est aussi sur un cône d'axe SB, ayant pour demi-angle au sommet a (G,SB =a).

Ges deux cônes ont même sommet ; pour avoir leurs génératrices d'intersection, coupons par une sphère quelconque de centre S.

Les deux parallèles déterminés par cette sphère, W et [Jiy, se coupent en deux points projetés en c.

TRIÈDRES DONT LES FACES SONT DONNÉES i85

L'arête cherchée est projetée suivant Se. La cote de C est donnée par le rabattement du cercle 8X par exemple; celte cote est ce' au-dessus ou au-dessous du plan horizontal.

Nombre des solutions, — Deux cônes de révolution peuvent avoir quatre génératrices communes ;' mais on sait, par la géométrie, que deux trièdres qui ont leurs trois faces égales sont égaux ou symétriques ; il n'y a donc qu'une solution et sa symétrique.

Condition de possibilité'. — On démontre en géométrie que, dans un trièdre, la somme des faces est plus petite que quatre droits et que la plus grande est plus petite que la somme des deux autres. Nous allons vérifier par la construction que ces conditions sont suffisantes.

Il faut que la verticale du pointe coupe la sphère, c'est-à-dire que c soit à l'intérieur du contour apparent de la sphère.

Nous allons montrer que, si la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres, et si la somme des faces est inférieure à quatre droits, o^ se trouvera entre y et Yj» sur l'arc yKyg, et le point 8 sur Tautre arc sous-tendu par la même corde yyg ; les cordes SS^ et yyg se couperont à Tintérieur du contour apparent de la sphère.

ASB étant la plus grande face, les points Y2 ^^ ^i sont entre I et K, et comme cette face est plus petite que la somme des deux autres, on a :

arc 18^ -f" arc Ky^ > arc IK

(les arcs mesurant les angles des faces) ; donc 8^ se trouve entre .y^ et K, c'est-à-dire sur l'arc yKy.2 (fig. 160).

i86 TRIÈDRES

D'autre part, la somme des faces étant plus petite que quatre droits, on a :

arc 51 + arc IK + arc Ky < circonférence,

donc .8 se trouve sur Tare sous-tendu par ly qui ne comprend pas le point K et « fortiori sur celui des arcs sous-tendus par yy^, qui ne comprend pas le point K.

Détermination des dièdres, — En coupant par le plan vertical Xc perpendiculaire à SA, et le rabattant sur le plan horizontal, on obtient en c\c' l'angle du plan ASC avec le plan ASB, c'est-à-dire le dièdre A ; on a de même le dièdre B en c\kc".

Pour obtenir le dièdre suivant SG, coupons par un plan perpendiculaire à cette droite en c ; une droite de ce plan est rabattue en yj3 perpendiculaire à SGj ; P est un point de sa trace horizontale ; cette trace est donc a^ perpendiculaire à Se. Rabattons le plan ca^ autour de sa trace a^ : c est rabattu sur la perpendiculaire à a^, c'est-à-dire sur Se en Cj, tel que ^c^ = Py ou ac, = aS.

On obtient l'angle plan du dièdre G en ac^p.

Deuxième cas. — On donne deux faces et le dièdre qu'elles comprennent. — Supposons donnée la face ASB = c que nous plaçons sur le plan horizontal, la face b et l'angle A (fig. i6i).

L'arête SG est sur un cône de révolution d'axe SA dont le demi-angle au sommet est b ; SGj est la génératrice de ce cône située dans le plan horizontal.

L'arête SG est aussi dans un plan mené par SA et faisant l'angle A avec le plan horizontal.

Pour trouver les génératrices d'intersection du cône