UNE FACE ET DEUX DIEDRES SONT DONNES

Le dièdre A est G|iiG'; on obtient la troisième face et le dièdre G comme dans les cas précédents.

Condition de possibilité. — Prenons une sphère de centre \k inscrite dans le cône ; supposons [jlS = i.

Pour que le plan mené par SB et faisant Tangle B avec le plan horizontal coupe le cône, il faut qu'il coupe la sphère, dont le rayon est sin b. Pour cela, il faut que la distance du point \k au plan soit inférieure au rayon.

Gette distance est obtenue en \kp^ par le rabattement du plan projetant la perpendiculaire \k\ au plan (l'angle [a)j9, = B).

La condition est ^p^ < sin b. Or, ^p^ = \l1 sin B ; jxA = sin c.

Il faut donc sin B siri c < sin b.

Quatrième cas. — On donne une face et les deux dièdres adjacents, — Plaçons la face donnée ASB dans le plan horizontal.

Glierchons Tintersection des plans menés par SA et SB faisant avec le plan horizontal les angles donnés A et B.

Coupons par un plan vertical P^ perpendiculaire à SA, et rabattons-le sur lé plan horizontal

Fig-. i63.

(fîg. i63); rintersection avec le plan mené par SA est Xa (aXp = A).

Goupons de même par un plan Qy perpendiculaire

igo TRIE DUES

sur SB, rintersection avec le plan mené par SB est la droite |jiS (y[jl8 = B).

Les deux plans étant ainsi déterminés, coupons-les par un plan horizontal de cote arbitraire dont les intersections avec les plans verticaux Pp et Qy sont H^ et H, ; les projections de ces deux horizontales se coupent en e ; la troisième arête est Se.

On a donc une solution et sa symétrique, puisqu'on peut faire les angles A et B au-dessous du plan horizontal.

On trouve les faces et le troisième dièdre comme dans les cas précédents.

Le problème est toujours possible, puisque deux plans qui ont en commun un point se coupent toujours suivant une droite à distance finie.

Cinquième cas. — On donne une facCj im dièdre adjacent, le dièdre opposé. — Plaçons la face donnée ASB dans le plan horizontal (fig. i64)-

Prenons pour plan vertical auxiliaire un plan V perpendiculaire à SA.

La trace du plan de la face ASG est ^V*

Il faut prendre l'intersection de ce plan avec un plan mené par SB et faisant avec le plan cVS un angle C. Ce plan sera tangent à un cône ayant son sommet en un point de la droite SB, o- par exemple, son axe co' perpendiculaire au plan, et, pour demiangle au sommet, le complément de Tangle G. Traçons la génératrice de ce cône située dans le plan V. La trace de SB sur le plan cVS, que nous prenons pour plan de base du cône, est le point 5^S; il faut mener de ce point une tangente à la base du cône ; ce sera précisément la troisième arête.

Rabattons le plan de bout c'S'sur le plan vertical V.