UNE FACE ET DEUX DIÈDRES SONT DONNÉS
Le cercle de base du cône est rabattu suivant un cercle dont nous avons le rayon. S^' est rabattu en S^ (5'S,=^5'S). '
Menons de S^ une tangente S^c^ ; c, se projette en d .
L'arête corres- ^^, >..^
pondante est projetée en Se.
On obtient les faces «, b et le dièdre B comme dans les cas précédents.
Condition de possibilité,— Pour que le problème soit possible, il faut qu'on puisse mener par la droite
Fig. 1C4.
St des plans tangents au cône et pour cela que l'angle 6 que fait Sa avec Taxe <to' soit plus grand que le demi-angle au sommet du cône, c'est-à-dire
Mais on a, en considérant le triangle de l'espace Sto'
cos i) =
crS
Or
rS =
<JS'
sinc^
(7o' =(jy sin A, donc cos 9 = sin A sin c.
La condition de possibilité est donc :
sinAsin c<cos f C) ou sinAsinc<sinC.
iga TRIEDRES
Cette condition étant remplie, on a deux solutions, qui peuvent être confondues, et leurs symétriques obtenues en faisant Tangle A au-dessous du plan horizontal.
Sixième cas. — On donne les trois dièdres. — Prenons comme plan horizontal le plan d'une face, c par exemple, et donnons-nous arbitrairement l'arête A
(fig. i65). ;
Prenons un plan vertical auxiliaire V perpendiculaire à Tarête A et rabattons-le sur le plan horizontal choisi. La trace du plan de la face ASC est aP', Tangle en a étant A. (a P' est le rabattement d'une ligne de plus grande pente du plan).
Nous allons mener un plan faisant avec le plan horizontal l'angle B et avec le plan P'aA l'angle C.
Traçons une sphère de centre {oo'), dans le plan horizontal et sur V.
Tous les plans tangents à cette sphère faisant avec le plan PaA' l'angle C sont tangents à un cône de révolution, d'axe perpendiculaire au plan, dont le
demi-angle au sommet est — - — C.
On obtient le sommet /' en menant le rayon o'I' faisant avec le rayon perpendiculaire au plan l'angle C, comme l'indique la figure, sur la projection auxiliaire.
De même, tous les plans tangents à la sphère faisant l'angle B avec le plan horizontal sont tangents à un cône de sommet 8', d'axe vertical, déterminé d'une manière analogue.
Les plans tangents communs à ces deux cônes répondent à la question, c'est-à-dire déterminent le plan de la troisième face.
LES TROIS TRIÈDRES SONT DONNÉS f^%
Or, les plans tangents contiennent la droite des sommets qui est projetée en Wtl et a pour trace horî-» zontale le point w. II suffit alors de mener par cette droite un plan tangent à Tun des deux cônes, par
Fig. i65.
exemple au cône vertical 4oiit la trace est le cercle de rayon oÀ. La tangente coS est la trace horizontale du plan tangent. Ce sera donc l'arête SB.
La troisième arête est l'intersection du plan tangent avec le plan P'aA, par suite la droite sc^ puisqu'on en a un point de.
On obtient les faces autres que c, qui est figurée en A SB en vraie grandeur, par le rabattement de leurs plans autour de SA et SB.
Condition de possibilité. — On démontre en géométrie que dans un trièdre la somme des dièdres
Martin et Pernot. Géométrie cotée. i3
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C94 . . TRIEDBÉS
est comprise entre deux droits et six droits et que le plus petite augmenté de deux droits, est plus grand que la somme des deux autres. Ces conditions sont suffisantes^ car, si elles sont remplies, le trièdre supplémentaire est tel que la somme de ses faces est plus petite que quatre droits et la plus grande face plus petite que la somme des deux autres. Le trièdre supplémentaire est donc possible; il en est de môme du trièdre cherché.
Le problème a deux solutions symétriques, car deux trièdres qui ont les dièdres égaux sont égaux ou symétriques.
On peut aussi vérifier sur la figure que les conditions énoncées sont suffisantes, par un raisonnement semblable à celui que nous avons fait pour le premier cas.
PÔLYEbRES
DÉFINITIONS. — On appelle polyèdre un volume limité par des plans. Ces plans forment les faces du polyèdre; Tintersection d'une face avec une face contiguë est une arête du polyèdre. Les extrémités des àrètes sont les sommets.
Déterminaidon des polyèdres. — Un polyèdre est déterminé, en géométrie descriptive, lorsqu'on connaît les projections de ses sommets.
La définition géométrique du polyèdre peut quelquefois permettre de le déterminer, connaissant une partie seulement de ses éléments.
C'est ce qui arrive, en particulier, pour les polyèdres réguliers^ pour lesquels toutes les faces sont égales, tous les angles polyèdres égaux, et qui jouissent de la propriété d'être inscriptibles et circonscriptibles à une sphère.
Nous en donnerons quelques exemples, sans pourtant traiter à fond la question, qui est plutôt du domaine de la géométrie pure.
Idée de la représentation des polyèdres, — Un polyèdre est représenté, en géométrie descriptive, par les projections de ses arêtes limitées aux
H sommets; on a soin de distinguer les arêtes vues des arêtes cachées pour un observateur placé à
^. Finfini dans la direction perpendiculaire au plan de
•^ projection.
j L'usage, comme nous l'avons dit, est de représenter
^ les parties cachées en points ronds, les parties vues
'^ étant figurées par un trait plein continu.
fu II importe, dès le début, de pouvoir se rendre
p: compte des parties vues et cachées sur les projections.
I^v La représentation, qu'on doit chercher à se faire, du
g; corps tel qu'il est dans l'espace, simplifie beaucoup
%■ le travail, mais il est nécessaire de vérifier, pour
01 un point au moins, qu'on ne s'est pas fait une idée
p: fausse de la situation du corps dans l'espace.
p Pour cela, imaginons un rayon venant de l'œil de
Ç l'observateur, qui regarde le plan horizontal, par
I" exemple.
K Ce rayon est une verticale qui rencontre le polyèdre
I en un certain nombre de points. Supposons-en
i: deux A et B. Il est aisé de voir, soit par une projection
S verticale auxiliaire, soit par la cote des points, lequel
f des deux points est le plus haut. Soit A ce point; il
^ .. sera vu ainsi que la face dans laquelle il se trouve,
[: jusqu'à la rencontre avec une autre face. Au contraire,
^ le point B et la région qui l'environne seront cachés.
^ Ce procédé exige qu'on sache déterminer l'intersection d'une droite avec un polyèdre.
Intersection d'une droite et d'un polyèdre. — La méthode générale consiste à couper par un plan passant par la droite ; ce plan coupe le polyèdre suivant un polygone formé par les droites d'intersection du plan auxiliaire avec les faces successives qu'il rencontre, ou bien dont les sommets sont les
