INTERSECTION PAR UNE DROITE

points, d'intersection des arêtes avec le plan auxiliaire ; on prend les points de rencontre de la droite avec ce polygone ; ce sont les points d'intersection de la droite et du polyèdre.

Le choix du plan auxiliaire varie avec le genre du polyèdre et la disposition de l'épure.

Soit, par exemple, un polyèdre quelconque ayant vihe face abcd dans le plan horizontal : les points /«, /^, /?, q ont des cotes données, telles que ces quatre points soient dans un même plan (fig. i66).

Cherchons l'intersection du polyèdre avec une droite S donnée par sa trace ^^ et l'angle qu'elle fait avec le plan de comparaison.

Coupons par le plan vertical io et rabattons-le sur le plan de comparaison.

POLYEDRES

La droite est rabattue suivant tl faisant Tângle donné avec ^8.

Le polygone rike déterminé dans le polyèdre est rabattu en ri'k'e' ; nous avons déterminé la cote des points projetés en i et h par les droites am et dg auxquelles ils appartiennent. ^S' rencontre ce polygone en u^ et p' projetés sur S en u et v. Ce sont les points d'intersection cherchés. Intersection (Vune droite et d'une pyramide, —

Dans ce cas, 11 est souvent avantageux d'employer la projection centrale, S étant centre de projection.

La section par un plan quelconque passant par A sera pro- "" jetée suivant ABGD (fig. 167) ; la droite A est projetée suivant Aj, qui rencontre la ces points sont les projections coniques des points cherchés U et V sur A. On obtient u et v par l'intersection de SU^ et SV^ avec A. Soit P le plan de la base donné par son échelle de pente ; la base est projetée en abcd (fig. 168).

S est la projection du sommet , de cote 10, IK la droite dont on demande Tintersection avec la pyramide. Projetons la droite IK sur le plan ABCD, le point S étant le centre de projection ; c'est-à-dire faisons passer par S et IK un plan et cherchons son intersection avec le plan ABCD.

Prenons sur iS lé point/? de cote 8 ; Kp est Thorizontale de cote 8.

Fig. 167.

base en u^ et v^ ;

PYRAMIÙE ET PRISME

L'intersection cherchée est i^\^ qui rencontre: le polygone abcd en u^ et v^ relevés par Sm^ et Sp^ en w et V sur iK \ u et v sont les points d'intersection cherchés.

Intersection d'une droite et d'un prisme. — Dans le cas d'un prisme, on applique la même méthode ; le

Fig-. i68.

point S étant à l'infini dans la direction des arêtes, la projection centrale devient une. projectioti cylindrique.

On mène donc par la droite A un pl^h parallèle aux arêtes ; on prend son intersection u^v^ avec le plan de la base choisie.

Les points w^, v^ relevés par des parallèles aux arêtes en u e^\v sur A sont les points cherchés. » Supposons le plan de la base P donné par son échelle de pente (fig. 169), la base par sa -projection abcd^ la droite A par sa projection S graduée. Eniîn, on donne une arête g*. Par lé pointa (i) de A on mené une parallèle aux arêtes et on détermine^ Thori-

POLYEDnES

zontale 3 du plan déterminé par cette droite et A ; c'est h tel que a^ = Tintervalle de g. Ce plan coupe

Fig. 169.

le plan de la base suivant une droite qui rencontre la base en u^ et v^. Les points u et v^ sur des parallèles aux arêtes, sont les points cherchés.

Représentation des polyèdres» — Nous allons montrer sur un exemple comment on distingue les parties vues des parties cachées, pour un observateur placé à rinfini dans la direction des projetantes. Nous y reviendrons dans les exemples d'épurés traités plus loin. Soit un prisme quadrangulaire :

abcd a^yS

donné par sa projection (fig. 170). Nous pouvons tracer en traits pleins tout le contour polygonal extérieur que rien ne peut cacher, c'est-à-dire ab^yùda ; ace moment, si Ton ne tient pas compte des cotes, ily :a deux manières de voir le prisme; pour reconnaître quelle est celle qui convient, étudions les lignes

TETRAEDRE REGULIER aoi

qui se croisent eti p ; ces lignes acf. et bc ne se rencontrent pas dans l'espace ; la verticale de p rencontrera Tvine avant l'autre, ce qui détermine la visibilité ; ainsi, dans la figure nous avons supposé que le point de Gif. projeté en p avait une cote inférieure à celle du point de bc projeté en /?; cy et cd sont vues comme aboutissant à c, qui est vu.

Tétraèdre régulier. — Le tétraèdre régulier est le solide compris entre quatre faces égales, formées de triangles équilatéraux..

Les angles trièdres en S, A, B, C sont égaux et toutes les arêtes sont égales (fig 171).

Les trois plans bissecteurs intérieurs des dièdres du trièdre ayant pour sommet S se coupent suivant

une droite SA qui est la hauteur abaissée du sommet S et en même temps l'intersection des plans bissecteurs intérieurs des faces ASB, BSC, CSA; il en est de même pour les droites AAj, BA^, GA3, relatives aux trièdres de sommets A, B, G.

De plus, ces quatre droites se coupent en un même point, qui est le centre des sphères inscrites et circonscrites.

Construire un tétraèdre^ connaissant une face, — Plaçons d'abord cette face sur le plan horizontal.

aoa POLYEDRES

Soit ABC cette face, qui est un triangle équilatépal.

Le quatrième sommet S sera projeté en 5, point

de concours des hauteurs et en même temps dés

médianes et des bissectrices du triangle ABC

(fig. 172).

Pour avoir sa cote, rabattons la face ASC autour

^ de AG sur le plan horizontal;

A\ elle se rabat suivant le triatigle

/ 1 \ ABC, et la cote cherchée est

/ I V- le côté de Tangle droit d\m

/ ^pÀ^ \ • triangle rectangle dont s-B est

/y^ \'^C\ l'hypoténuse et Sa l'un des

B^^ ^: V|^ côtés. Ce triangle est construit

'^ "^-^ \ \ / en SaS'. SS' est la cote du ^ - ..^j^'i;l. sommet.

^ ^ On peut encore construire * ' * cette cote comme étant le côté

d'un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse SB et un côté ^B ; la cote est ainsi de même construite en SS'i

Application. — Soit une face contenue dans un plan P. On demande de construire sur cette face un tétraèdre régulier dont le sommet soit au-dessous du plan P.

Soit ab un côté de la face située dans le plan P

(fig. 173).

Pour construire le triangle équilatéral de côté AB, rabattons le plan P autour de l'horizontale du point Z> sur le plan horizontal de cote 6 ; h reste fixe ; c est rabattu en c^.

Construisons le triangle équilatéral afic^ dont un des côtés est 6Cj.

La projection du sommet S du tétraèdre sur 1«