Théorème de Desarcces

Considérons six points

x.y.P1.P3.Pa.P, = o

d’une conique,— l’identité ( n° 129, p. i3a)

«*,+fy*+2\pï-o

à laquelle donnent lieu leurs distances à une droite indéterminée,

— et la conique évanouissante représentée par l’une ou l’autre des

Théorème analocce a celui de Desargces.

Considérons dix points d'une surface du second ordre : les six premiers, P,,..., P„, quelconques; les quatre autres x, y, z, t situés sur un meme plan ; — l’identité (n° 129)

ax' 4- bjd+ cz 7 4- rit1

à laquelle donnent lieu leurs distances à un plan indéterminé, — et la surface évanouissante représentée par l’une ou l’autre des

équations tangentiellcs (i) ax* -4" by* = o,

(•') 2>‘PÎ = °-

Il résulte d’abord de l’équation (i) et du nombre des points de référence .r , y qui y figurent, que cette conique se réduit à un système de deux points, réels ou imaginaires, situés sur la droite xy qui réunit les points de référence et harmoniquement conjugués par rapport à ces points

Mais il résulte aussi de la forme de l’équation ( i') que cette conique évanouissante, ou le système de deux points auxquels elle se réduit, est conjugué au quadrangle P,... P, déterminé par les quatre derniers points; de telle manière que les côtés opposés de ce quadrangle, ou les traces de ces côtés sur la droite xy, soient conjuguées deux à deux par rapport aux deux points du système.

On peut donc énoncer ce théorème [fig. 85).

Fig.

Une corde xy et un quadrila-

équations tangentiellcs

(i) ax* -h by1 -f- cz^ + dt* = o,

Il résulte d’abord de l’équation (i) et de la situation en un même plan des quatre points de référence x, y, z, t, que cette surface se réduit à une conique située dans le plan de ces points et conjuguée au quadrangle xyzt qu’ils déterminent : de telle manière que deux côtés opposésquelconques de ce quadrangle soient conjugués par rapport à cette conique.

Mais il résulte aussi de la forme de l’équation ( i ' ) que cette courbe est également conjuguée à l’octaèdre P,...Pe déterminé par les six derniers points; de telle manière que les faces opposées de l’octaèdre, ou les traces des plans de ces faces sur le plan de la courbe soient conjuguées deux à deux par rapport à celle-ci.

On peut donc énoncer ce théorème [Jig- 85).

Un quadrangle plan xj-zt et un

1ère aba'b' étant inscrits à une conique , les extrémités (le cette corde et ses traces sur les côtés opposés de ce quadrilatère font trois couples de points conjugués / uir rapport h une même ellipse évanouissante qui se réduit h un système de déux points situés sur In corde donnée.

octaèdre abca'b'c' étant inscrits à une surface du second ordre, les deux couples de côtés opposés de ce qundrangle et les traces de son plan sur les faces opposées de cet octaèdre font six couples de droites conjuguées par rapport à un même ellipsoïde évanouissant qui se réduit il une conique située dans le plan du qundrangle donné.

386. Autre démonstration. — L’interprétalion de certaines identités antérieures, associée à un emploi convenable de l'équation

des surfaces du second ordre passant par six points donnés, ou circonscrites à l’un des octaèdres

Pi • Q i • X P3 * Q a X P, . Q 3 X P 4 * Q 4 — o

qu’ils déterminent, fournit une seconde démonstration du théorème précédent.

Coupons, en effet, la surface (1) par un plan quelconque

et soient

les côtés opposés d’un quadrilatère inscrit dans la courbe résultante. Si

(4) P1, et Q',,..., P', et Q',

désignent les traces du plan considéré sur les faces opposées de l’octaèdre, la courbe [(1), (2)] pourra être représentée, dans son propre plan R = o, par l’une ou l’autre

des équations équivalentes

(3') XZ + YT = o,

(4') yV.Qr.-o.

ÀmJ I

Or l’équivalence de ces équations entraîne l’identité XZ + YT-t-Y\,P'1Q'l=o;

et celle-ci (n° 157, p. 160) la conclusion que/ei deux couples formées des côtés opposés du quadrangle inscrit que. l’on considère, et les quatre qui résultent des traces de son plan sur les faces opposées de l’octaèdre font six couples de droites conjuguées par rapport à une même conique : ce qui est le théorème précédent.

387. Application. — Étant donnés neuf points d'une surface du second ordre, ofi peut déduire de ce théorème la construction par points de la section déterminée dans la surface par le plan xjz de trois d’entre eux; la tangente de cette section, le plan tangent en l’un de ces points et, par suite, tous les éléments principaux de la surface.

i). Que l’on mène effectivement (fg. 86), par le point donné z , et dans le plan xyz, une droite quelconque zl\ il s’agit d’obtenir le second point de rencontre t de cette

Fig. 86.

droite eide la surface; ou de construire le quatrième côté du quadrangle inscrit xyzt, ou Â.B.A'.B'.

D’après le théorème précédent, les quatre couples de

DE L’ELLIPSOÏDE DÊFIWI PAR MEI'F POIRTS. 443

droites

Pi.Qi» Pi Qj, Pj-Qi. P< Q<

qui résultent des traces, sur le plan xyz , des faces opposées de l’octaèdre défini par les six autres points donnés, et les deux couples

xyr et zt, ou A et A', yz et xt, ou B et B',

formées des côtés opposés du quadrangle xyzt , font six couples de droites conjuguées par rapport à une môme conique. Si l’on construit dès lors

le pôle p du côté B,

par rapport à la conique conjuguée aux cinq couples de droites

P, Q P.-Qi, A. A';

on aura, dans la droite indéfinie,

p.v, oti tx, ou B',

menée de ce pôle au point x, le quatrième côté du quadrangle; et, dans la trace de cette droite sur le côté précédent A', le point t qu’il s’agissait d’obtenir.

a.) Si l’on conçoit que le point t se rapproche indéfiniment du point x, la commune direction des droites xt ou xp sera remplacée, à la limite, par la tangente de la section en ce point. On obtiendra donc celte tangente en substituant, à cette transversale zt, que l’on menait tout à l’heure arbitrairement par le point z, la corde zx elle-même, et réunissant au point x le pôle p' du côté^z par rapport à la conique conjuguée aux cinq couples de droites

P|.Q| P.-Q.I xyr et zx.

3). Soient enfin 1, 2,... 9 les points qui définissent une surface du second ordre. Le plan mené suivant les tangentes, au point 1, de chacune des sections 123, 12-4, sera tangent à la surface en ce point. On pourra donc obtenir successivement la section 123, le cône circonscrit à

la surface suivant cette section, le diamètre aboutissant au sommet de ce cône, le centre et trois diamètres conjugués de la surface.

Remarque. — Le pôle de la droite B, par rapport à la conique conjuguée aux cinq couples

Pi Qi>. • •. P. Q., AA',

se trouve au point de concours de toutes les droites B/ = o définies par l’identité générale

ou seulement au point de concours des droites B" et Bw, que définissent les identités particulières

X, P,Q, ==B.B", ^l,P,Q1 + «.AA'sB.B*1

et sur la construction desquelles nous aurons à revenir.