EXTRAIT DE INAPERÇU HISTORIQUE

par lui-même les efforts des géomètres. Cependant nous ne voyons encore que M. Lamé jusqu’à ce jour qui se soit occupé de l’un des cas généraux qu’il présente. Cet habile professeur a déterminé les éléments suffisants pour la construction de la surface du second ordre qui doit passer par neuf poiuts donnés (*). Mais la discussion de la solution générale et l’examen de ses corollaires, et des cas particuliers qui s’v présentent, méritent de nouvelles recherches.

» Peut-être encore serait-il utile, avant d’aborder sérieusement la question des dix points d’une surface du second degré, de chercher la relation générale qui a lieu » entre neuf points appartenant à la courbe gauche du quatrième degré, qui est l’intersection de deux surfaces du second degré quelconques? Huit points dans l’espace déterminent une telle courbe, il doit donc y avoir une relation constante entre ces huit points et un neuvième pour que ce dernier se trouve sur la courbe que déterminent les huit premiers.

» Ou bien faut-il encore chercher préalablement la relation qui a lieu entre sept points de la courbe gauche du troisième degré, qui est l’intersection de deux hyperboloïdes à une nappe qui ont une génératrice droite commune et qui est toujours déterminée par six points pris arbitrairement dans l’espace? Cette question n’olfre pas les mêmes difficultés que les autres, et nous croyons l'avoir résolue. (Note XXXIII.)

» Peut-être, enfin, devrait-on, au lieu de prendre pour original et pour terme de comparaison le théorème de Pascal, faire les mêmes essais sur l’un des autres théorèmes qui expriment comme lui une propriété de six points d’une conique, et qui en sont des conséquences ou de simples transformations, comme nous l’avons fait voir dans la

(*) Examen des différentes Slclhodes ..., 1818 : Problème*, p. 07-69.

Note XV. Parmi ces théorèmes, nous avons pensé que celui que nous avons présenté comme expression différente de la propriété anharmonique des points d’une conique , pourrait, au moyen de trois transversales prises arbitrairement dans l’espace, conduire à la relation cherchée de dix points d’une surface du second degré. Nos premiers efforts ont été infructueux; cependant nous fondons encore quelque espoir sur ce même théorème, et nous désirons que l’on essaye d’en tirer quelque parti. » (Aperçu historique, p. 243 et suiv. )

384. Il est remarquable que dans celte analyse, autrement si complète, des diverses formes sous lesquelles on peut concevoir le théorème analogue à celui de Pascal, il ne soit rien dit de scs applications. On pourrait même croire, si l’on avait moins égard à l’ensemble qu’au passage où se fait cet ingénieux rapprochement du tétraèdre et du triangle, que la question est beaucoup moins d’une analogie réelle que d'une analogie apparente où l’on chercherait à suppléer par la similitude des mots aux différences des choses. L’objet essentiel du théorème de Pascal, ou de tout autre théorème capable du même rôle, 11e serait-il pas de subordonner d’abord la situation de six points sur une même conique à la situation, sur une même ligne droite, de trois autres points déduits linéairement des premiers ; et si cet objet peut être rempli de plusieurs manières différentes, de choisir ensuite entre toutes celle qui se prête le mieux aux applications, cl qui est d’ailleurs celle de Pascal? Bien qu’elles nous soient encore inconnues, les propriétés générales des courbes de degré supérieur se peuvent concevoir de la même manière, et ce serait encore transporter ce théorème aux courbes du troisième ordre que de subordonner la situation de dix points sur une telle courbe à la situation, sur une même conique, de six autres points déduits des premiers. De même encore pour les surfaces.

PROPRIÉTÉ DE DIX POINTS DE l’eLLIPSOÏDE. 4^9

Mais on n’aurait pas l’analogue de ce théorème dans une proposition qui ferait dépendre la situation de dix points sur une même surface du second ordre, de la situation, sur un même plan, de quatre points déduits des premiers, si cette proposition ne se prêtait en outre à de semblables applications. C’est d’ailleurs une de ces analogies incomplètes que l’on rencontre d’abord, au moins quand on prend pour type le théorème de Pascal -, car si l’on peut déduire, de dix points situés sur une surfare du second ordre, un groupe de quatre points situés sur un même plan, le mode de déduction qui se présente le plus naturellement est tel qu’il se refuse à toute application.

Heureusement, le choix de ce théorème comme type de cette propriété de dix points que l’on cherche, n’est pas obligé. L’une quelconque des propriétés générales de six points d’une conique peut être prise, au même titre, pour terme de comparaison. Et si l’on choisit, en particulier, le théorème de Desargues, on trouve enfin, comme nous l’allons voir, cette première analogie véritable qui n’est pas seulement à la surface, mais au fond même des choses et dans leurs applications.