REMARQUES SUR LE THÉORÈME DE PASCAL

la proposi lion di recte donnent 1 ieu , en effet, à l'identité

et celle-ci aux équations équiva-

lentes

OU

lons la proposition réciproque, les équations (il et (T), données comme équivalentes, entraînent l’identité (/); et cette dernière, la situation, sur une même conique, des six points considérés.

proposition directe donnent lieu, en effet, à l’identité langentielle

et celle-ci à ces deux groupes d’équations équivalentes :

(o 2!>,'pï=°

Dans la proposition réciproque, les équations (i) et ( i*), ou (2) et (2’), données comme équivalentes, entraînent l’identité (t); et cette dernière, la situation, sur une même surface du second ordre, des dix points considérés.

389. Remarque. — En établissant la séparation île dix points d’une surface du second ordre en deux groupes de points harmoniquement conjugués par rapport à une autre surface du même ordre, le théorème précédent permettra peut-être d’appliquer, à la recherche de la propriété des dix points qui doit correspondre au théorème de Pascal, les ressources de cette théorie des pôles et polaires d’où l’on a ti ré déjà tant de propositions descriptives du même ordre que celle dont il s’agit. C’est là, vraisemblablement, qu’est le nœud de la question ; et il n’est pas impossible qu’elle ne dépende plus que d’un heureux emploi de cette théorie. C’est du moins ce que semble indiquer la transformation, déjà réalisée par M. Hesse, du théorème plan analogue dans celui de Pascal, et que voici :

Soient g. 87) a, b, c, a', b\ c' six points d’une première conique, lesquels, séparés en deux groupes égaux,

Fig. 87.

donnent naissance aux triangles

abc, a'b'c'.

Nous savons, par l'un des théorèmes précédents, que ces triangles sont respectivement conjugués à une deuxième ’ conique S'. Les points

m — ab a' b', n — bc b'c'

représentent donc, par rapport à une seconde conique S', les pôles respectifs des droites

• cc' , aa' -,

et, la droite nui, qui les réunit, la polaire du point de concours de ces droites,

7 = cc' au' ,

ou la polaire du point de concours de 'deux côtés opposés du quadrilatère au' cc' . Or les sommets opposés

a et c, a' et c'

de ce quadrilatère étant coujugués deux à deux relalive-