REMARQUES SUR LE THÉORÈME DE PASCAL

ment à la courbe S', il en est de même des points de concours

q — a a' cc , p -- ta' ne'

de ses côtés opposés. La polaire de chacun de ces points q ou /> passe par l'autre, et la polaire du point qui contient déjà les points m et //, contient aussi le point />. Les trois points

m — nb a' b' , n = bc b'c', p=zca' c'a

se trouvent donc en ligne droite : et l’on voit qu’ils ne sont autres que les points de. concours des côtés opposés de l’hexagone abca'b'c ', inscrit à la conique primitive S.

390. Le théorème de Desargues, comme on l’a vu déjà, suppose la séparation préalable des six points que l’on y considère en deux groupes composés l’un de quatre points, l’autre de deux; mais, une fois effectuée celte séparation, l 'ordre de succession des points de chaque groupe demeure indifférent; il n’en est question ni dans l’énoncé ni dans la démonstration, et tout se passe Symétriquement par rapport à tous les points d’un même groupe. Cette symétrie absolue se retrouve d'ailleurs dans chacune des équations

résultant de l’identité à laquelle donnent lieu les six points considérés ; et c’est pourquoi le théorème de Desargues se lit si aisément dans celte identité. Il n’en est pas tout à fait ainsi du théorème de Pascal; et comme les six points que l’on y considère se succèdent dans un ordre déterminé, il faudra, pour le déduire de l’identité fondamentale, défaire d’abord la symétrie absolue de cette dernière par rapport aux six points du système pour ne laisser apparaître à la fin que cette symétrie relative que présentent les sommets d’un hexagone. De là quelque chose d’artificiel dont il parait difficile de débarrasser la démonstration, et qu’elle

n’aurait pas cependant si elle était placée sur son véritable chemin. Ce chemin véritable ne serait-il pas ici de ne pas sortir de la symétrie, et, conservant l’identité fondamentale

sous sa forme naturelle, de montrer seulement que s'il existe, une relation linéaire et homogène entre les carrés des distances des sommets d'un hexagone à une droite quelconque, il existe aussi une^relation linéaire et homogène entre les premières puissances des distances, à une droite quelconque, des trois points de concours des côtés opposés de cet hexagone ? Ce qui serait, au fond, le théorème de Pascal.

Mais, à défaut d’une démonstration aussi parfaite, ce théorème résulte encore si naturellement de notre identité qu’il suffit d’écrire celle-ci jusqu’au bout pour le faire apparaître. Si l’on prend, en effet, pour points de référence, les sommets a. (3. y = o du triangle déterminé par les côtés pairs ou impairs, de l’hexagone 123456 (y/g. 88), les

Fig. 88.

équations des sommets successifs de celui-ci pourront