SC0LIE SU! LES COURBES OU TROISIÈME ORDRE

mit un examen spécial, qui ne sortirait pas du cadre de cet Ouvrage, et que nous nous proposons, en effet, d’entreprendre, dans la mesure doublement restreinte de nos lumières et de nos loisirs ; mais où nous n’avons pu jusqu’ici entrer sérieusement. Nous nous bornerons dès lors, sur ce point, à montrer que notre théorème sur les groupes A' éléments associés en nombre inférieur au nombre normal permet de construire à priori , et sans aucune notion antérieure sur les propriétés des courbes du troisième ordre, le neuvième point commun à toutes celles de ces courbes qui passent par un groupe donné de huit points. i). Soient, en effet,

1, 2, . . . , « et //, b, z, ou

un groupe de neuf points associés suivant le module H, ou tels, que toute comité du troisième ordre que l’on aura menée par huit d’entre eux, passe d’elle-mème par le dernier. L’identité (n° 128, p. i3o)

(l) Y\p; + aA1H-fsB1-4-yZ* = o,

à laquelle donnent lieu les distances de ces neuf points à une droite quelconque, se dédoublant dans les équations langenlielles équivalentes

(a) «A3 -t- jiB* 7Z3 = o,

celles-ci représenteront une seule et même courbe de la troisième classe et du sixième degré : et les six tangentes menées à cette courbe par chacune de ses traces sur une droite quelconque (a, b, z; p,,...,pt) feront six tangentes d’une même conique, laquelle sera définie par l une

ou l'autre des équations équivalentes (n° 40, p. 36)

(3) artA3-4-p^C24-72Zî~o,

(3') ^xlP,p; = o.

Or, si l’on considère, au lieu d’une droite quelconque (fig. io3), celle

<] ni réunit le point 1 au point cherché z ; ces équations

deviennent

aa,A5 -+- =

^ X,/>,Pj =0.

et représentent un même système de deux points /«,, ou = o, satisfaisant à la double identité

(5) «a.A’-t- fJfc.B’ = M,N,,

(5') ^'l,|>,P]=M,Nl.

Il enrésultequeles points m, et n,, doublement conjugués au groupe (a, b) et à la conique (23456), seront fournis par les points conjugués communs à deux divisions en involution, tracées sur la droite ab (n° 157). D’ailleurs, ces deux points obtenus, les distances /«,«, de l’un quelconque d’entre eux aux points de référence a, b pourront remplacer, dans l’équation (4), les coordonnées courantes A, B; et l’on aura d’abord

a , et £>, désignant les distances de la droite z 1 aux points a et J,

(p,) a, : b, = ai' : b 1'.

Substituant ensuite à la droite zi la droite z 2, on obtien-

CONSTRUCTION DU yr l'OINT COMMUN, ETC. 5 a I

(Ira par une construction semblable un nouveau point m, dont les distances aux points a et b vérifieront encore l'cquation

( r, ) a . . /n, « -+- jï . A, . /«, A = O ;

u, et b, désignant cette fois les distances de la nouvelle

droite zi aux points a et Z>,

(pi) <1, : b, — a 2' : A2’.

Et si l’on élimine le rapport z’.fi entre les relations (/•,), (rj), la relation résultante pourra s’écrire, en désignant par A un nombre connu,

d±‘:~bï'

Ee rapport anbarmonique des quatre points «, b, i’, i' est donc déterminé; il en est de même du rapport anhartnoniquo des quatre droites za, zb , z I’, zi' ; et, par un théo-

Fig, io3.

rème connu , le point cherché z appartient à une première conique circonscrite au quadrangle a b 12 et que l’on peut construire.

Or si l’on recommence la construction précédente en conservant le groupe a, b , 1 et substituant au point i le