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Les deux groupes de quatre points O, B, C, 0 et O', B', C', 9' sont dès lors homographiques , et les droites OO', BB', CC', 99' font quatre génératrices d'un meme hyperboloïde. Or ce résultat renferme la solution du problème que l’on s’était proposé; ou la détermination, par le seul emploi delà règle, de celui des deux points t ou t' qui était inconnu.

■451 . llemarque. — On sait que dans tout quadrilatère circonscrit à une conique , les deux premières diagonales du quadrilatère et la droite qui réunit les points de contact de deux de ses côtés opposés se coupent en un même point : et cette propriété n’est d’ailleurs qu’un cas particulier du théorème de Brianchon. Le théorème que l’on vient d’établir et son corrélatif peuvent donc être regardés à leur tour comme des cas particuliers de ce théorème, ou de celui de Pascal, transportés aux surfaces du second ordre. Comment passer de là, ou d’ailleurs, au cas général? Et dans quels termes se fera ce passage? C’est ce qui est encore fort caché. S’il n’y fallait qu’une habileté et une pénétration infinies, les problèmes où s’exercent aujourd’hui quelques géomètres témoignent assez que tout serait

vite achevé. Mais il est présumable qu’il y faudra surtout infiniment de bonheur; et c’est ce que la plus profonde géométrie ne donne pas toujours. Ici, en effet, l’obstacle est tellement grave, que c’est à peine si on l’aperçoit. Ce n’est plus un problème défini, défendu par d’énormes complications, qu’il s’agit d’emporter ou de réduire. C’est uno loi simple, que l’on suppose devoir régir la situation de dix points pris d’une certaine manière dans l’espace, et dont il faudra peut-être deviner premièrement la véritable expression, sous peine de l’ignorer toujours. Que des essais dans ce sens présentent aujourd’hui quelques chances de succès, l'extension qu’a déjà reçue, dans cet Ouvrage, le théorème de Desargues, semble l’indiquer. Généralisé de la sorte, ce théorème y pourra intervenir utilement, soit par lui-mème, soit par un préalable aplanissement ( rerluctio in planurn ) des dépendances qu’il établit entre n points associés. Il n’est pas impossible, par exemple, que l’expression des dépendances descriptives qui doivent exister entre neuf points d’une courbe gauche du quatrième ordre 11e se trouve dans l’expression encore inconnue des dépendances auxquelles donnent lieu un quadrangle et un pentagone conjugués à une même conique. Malheureusement la théorie de ces courbes, envisagées au point de vue de leurs propriétés descriptives les plus générales, est à peine ébauchée. Le théorème de Pascal, qui eu est l’admirable commencement, en marque aussi la fin. Et non-seulement nous ne savons rien encore des propriétés analogues de six éléments mêlés d’une conique : points et tangentes, couples de droites ou de points conjugués, triangles inscrit et circonscrit; mais personne ne paraît avoir remarqué qu’il nous reste sur ce point quelque chose à apprendre.

452. Scolie. — Le rôleque peuvent remplir, dans l’élude des lieux géométriques de degré supérieur, les théorèmes généraux que nous avons donnés au Chapitre IV, mérhe-