On verrait de même que l’identité
>iP.Qi — - ®i ou
(II) ^ X,(x~ P') (x—
relative à trois couples de points en involution, exprime que les distances x, x' des deux points de chaque couple à un point déterminé de la droite qui les réunit, sont liées par une relation de la forme
(II') 2 a .xxr -t- b [x -t- x') -4- ic = o.
On sait d’ailleurs que le point conjugué du point à l'infini est dit le point central de la division. Sa distance x à l’ori gine s’obtient en faisant x'= oo dans l’équation précédente, ce qui donne
Si le point central est pris pour origine, le coefficient b devient nul, et la relation d’involulion reçoit celte forme plus simple
(II") x..r'= const.
THÉORÈMES ET PROBLÈMES
Sommaire. — Étude analytique du lieu des centres : des coniques tangentes à quatre droites, — des surfaces du second ordre inscrites à un système de sept plans. — Théorèmes de Newton, de Steiner, de M. J. Mention. — Détermination de la sphère et du plan représentés par les équations
§ I. — Du fieu des centres des coniques inscrites au quadrilatère P,. . .P4= o, et de la droite représentée par l'équation
81 . Les problèmes qui font l'objet de ce Chapitre reçoivent un double intérêt des difficultés analytiques qu’ils présentent et de leur construction géométrique jusqu'ici inachevée. On connaît depuis longtemps celte analogie dont le premier terme est dû à Newton : « Le lieu des centres des ellipses inscrites à un quadrilatère étant une droite, le lieu des centres des ellipsoïdes inscrits à un système de sept plans est un plan ; » et celte autre, due pour la première moitié à Steiner, pour la seconde à M. Mention : « Le lieu des centres des ellipses inscrites à un triangle, et dont le cercle diagonal (x* +y,= a* -+- £*) conserve un rayon constant, étant un cercle, le lieu des centresdes ellipsoïdes inscrits à un système de six plans et dont la sphère
THÉORÈMES ET PROBLÈMES
diagonale (x* -h y* -h z* — 6’-+- c*) conserve un rayon
constant, est une splière. » 11 restait à compléter ces analogies et, comme on sait construire dans le plan la droite ou le cercle des centres, à construire aussi dans l'espace le plan ou la splière des centres à 1 aide des plans donnés : question en apparence fort difficile, dont une solution imprévue pouvait naître, sans doute, de la géométrie ou du liasard , mais qui paraissait devoir se dérober longtemps au calcul. Si l’on aborde, en effet, par la voie analytique ordinaire la détermination de l’un quelconque des lieux géométriques précédents, on se trouve, dès le début, en présence d’éliminations à peu près irréalisables. Et, bien que l’on puisse en venir à bout à l’aide de certaines relations dites d' identité, calculées d’abord par M. Terquem pour les courbes du second ordre, par M. Mention pour les surfaces, l’extrême complication des calculs permet seulement de reconnaître, dans chaque cas, la nature du lieu. C’est ainsi que M. Mention a pu constater l’existence d’une sphère des centres analogue au cercle reconnu par Steiner, mais sans apercevoir la position du centre de cette sphère par rapport aux six plans donnés.
On peut traiter tous ces problèmes par une méthode directe n’exigeant que très-peu de calculs, et prenant son point de départ dans l’interprétation géométrique des équations de la tangente à l’ellipse, ou du plan tangent à l’ellipsoïde, rapportés à leurs axes de figure; équations que l’on peut transporter ensuite à des axes quelconques. Ainsi commencés, tous les calculs s’achèvent heureusement; et cette analogie qui existait au commencement entre les problèmes plans ou solides que l’on s’était proposés, se retrouve d’une manière frappante dans l’identité de forme des équations finales qui les résolvent et qui sont: d’une part,
de l’autre,
On voit, d’ailleurs, par la forme de toutes ces équations, que chacune d’elles est la plus simple possible, eu égard au nombre des variables P,, P,,. . P„ qu’elle renferme, et qui n’y sont pas mêlées les unes aux autres, mais y figurent seulement par leurs carrés. De là une facilité d’interprétation à laquelle ajoute encore le parallélisme des équations correspondantes pour le plan et pour l’espace. Car les considérations à l’aide desquelles on peut, dans le plan, déduire de la seule forme de son équation la position du lieu que l’on étudie par rapport aux données géométriques delà question, se trouvent naturellement indiquées comme devant être essayées de même, quand on aura à étudier la position du lieu correspondant de l’espace. Or il arrive que cet essai réussit, et que ces mêmes considérations suffisent pour faire apparaître tous les détails de position, essentiels ici, qui étaient d’abord cachés dans l’équation du lieu. Mais, comme nous le verrons, beaucoup d’autres choses apparaissent en même temps auxquelles on ne songeait pas, que personne n’avait encore aperçues, et qui donnent : à la géométrie comparée des polygones et des polyèdres, plusieurs théorèmes nouveaux; à la théorie des lieux géométriques plans ou solides, de tous les ordres et de toutes les classes, un principe unique, jusqu’ici ignoré, et qui paraît contenir toute cette théorie.
82. L’ellipse (2 a, 2 b) étant rapportée à scs axes de figure, l’une quelconque de ses tangentes peut être représentée par l’équation connue
•r cos a y sin a = P = y/a'cos* a -4- i’sin’a,
a désignant l'inclinaison, sur l’axe an, de la normale correspondante K, et P = \!a* cos’a -4- b' sin* a la distance
THÉORÈME DE NEWTON. 6 q
du centre delà courbe à la tangente considérée. Traduisant cette équation en langage ordinaire, on peut dire que le carré de la dislance du centre d’une conique à l'une quelconque de ses tangentes est égal à la somme îles carrés des produits de chacun des demi- axes de la courbe par le cosinus de V angle formé par la direction de cet axe avec la normale correspondante N,
P'= a’cos’fN, a) -f- é’cos’ (N, é);
et cette formule est ensuite applicable, comme nous l’allons voir, à un système quelconque d’axes coordonnés.
83. Du lieu des centres des coniques inscrites à un quadrilatère.
Soient, relativement à un système quelconque d’axes rectangulaires,
P,P,PsP4=o
les côtés du quadrilatère donné; chacune des fonctions P„ étant de la forme
P», — ! P/ijt ta*,,
où A„ et 11„ désignent les cosinus des angles formés avec ox, ojr par la normale N au côté correspondant, ou les cosinus directeurs de cette normale.
Si l’on désigne de même par a et-j3, a' et /S' les cosinus directeurs de chacun des axes 2 a ou 2 b d’une ellipse tangente aux quatre droites, on aura pour le carré de la distance du centre (x, y) de cette ellipse à chacune de ccs droites, cette double expression
P»=:(A.ar + Bj — sy)'= a’ cos2 ( N, a) -h 6’cos2(N, />};
ou, en développant les cosinus,
P' = (Ax+B/-o), = «I(Aa+ B^}2-t- b'(\c.' -y Bjï')2.
Appliquant cette relation à chacune des quatre tangentes
yo CHAPITRE III.
données, il vient
l» P’=(A,.r 4-B,/ — o1),= «’(A,a + B,p)’+£3(A1a'.+-B,p'}s, 2° P;^^(A,x 4-B..J* — zjt*z=z rt3(A, a -I- B, ^)34~ è3(Aja/4- B,[i )% 3" P]= (Aj.r 4-B,/ - «,)>= a’ (A., a 4- B,p)34- £-’(A3a'+ B3 jî')s, 4» P:= (A, x + B,r - o,)’= «’ (A, a 4- B4 p)34- è3 (A, *'4- B, p')%
et la détermination du lieu des centres est ramenée à l’élimination, entre res quatre équations, des trois paramètres indépendants auxquels se réduisent les six variables a , &, a, J3, a',
Or cette élimination se réalise aisément cil vertu d’un mode particulier de symétrie que présentent les équations i°, 2°, 3°, 4°, et d’après lequel les quantités
rt!ot’ et b* a.'*, «3jP et 63p'3, «’aji et b7 a'p'
entrant de la même manière dans toutes les combinaisons que l’on en pourra former; il suffira de rendre nuis les coefficients des termes en
o1 a5, fl3 [P
dans l’équation résultant de cette combinaison, pour voir disparaître toutes les variables.
Si l'on désigne, dès lors, par X,, X,, X4 quatre coefficients indéterminés dont les rapports soient définis par les relations suivantes
X,A; 4- X,Aj4-XjA;4- X4 A3 = o,
X , B 2 -t- ÀjBj 4- ).jB2 + i(Bj — o,
Xt A i B, 4- A, B j 4- Xj AjB; 4- X, A( B, — o,
et qu’ayant multiplié les équations t°, 2°, 3°, 4° respectivement par X,, X„ X, X4, on les ajoute membre à membre : le second membre de 1 équation résultante est identiquement nul, en vertu des relations (X); tous les paramètres
THÉORÈME DE HEWTON. 71
variables se trouvent éliminés, et l’équation du lieu est
Xi (A( j?
ou
-t-B,/— cr,)ï-l->3(. . .)*-+- >-3(- • •)*
D’ailleurs, en vertu des relations (X), les termes en x', xy,yt disparaissent d’eux-mèmes du premier membre de celte équation, qui représente dès lors une droite; et l’on a ce théorème :
Le lieu ries centres des coniques inscrites au quadrilatère P,PjP3P4=o est la droite représentée par l'équation
rendue linéaire en r et y par un choix convenable des coefficients X,, . . . X4.
8i. Remarque I. — Quels que soient l'angle des axes ox , oy et la forme des fonctions P, la droite des centres demeure représentée par l’équation (i); ou, en prenant pour axes des x et desj' deux des quatre droites données, parcelle-ci :
les coefficients «, (3, X, X' étant toujours choisis de manière à produire la disparition des termes en x ’, xy,y*. Il serait donc facile de vériGcr, conformément au théorème de INewton, que la ligne des centres se confond avec la droite des milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre tangentes ( Principes de la Philosophie naturelle, li v. I"r, prop. 27). Mais celle vérification est rendue inutile par notre analyse, et la position de la droite des centres est en évidence dans l’équation (t).
Remarquons, en effet, les coefficients X,,...X4 étant d’abord supposés quelconques et la ligne (1) étant traitée
comme une courbe du second ordre, que la polaire prise par rapporta cette ligne d'un point quelconque (p,, pt, Pt, p^ est représentée par l’équation (p. 18, n° 14) ;
\p, P. + + > Pj + ^/>,P4=«: o;
et quecelle-ci devient, par la double hypothèse o =p, = pi, *a/»a Pj P» = o.
La polaire , prise par rapport à l’une quelconque des courbes (i), de chacun des sommets (o = p, = pt) du quadrilatère considéré , passe donc par le sommet opposé (o = Ps = P;). Et deux sommets opposés quelconques du quadrilatère sont conjugués par rapport à chacune de ces lignes (*).
Or, dans toute courbe du second ordre, le segment qui réunit deux points conjugués est divisé harmoniquement par ces points et par la courbe. Si donc la courbe (i) se réduit à un système de deux droites D, D', celles-ci divisent harmoniquement le segment compris entre deux points conjugués quelconques; et si la courbe (i) se réduit enfin à une droite unique D, ou au système formé de cette droite et de la droite à l'infini, le segment compris entre deux points conjugués quelconques, étant encore divisé harmoniquement par la droite D et la droite à l’infini, se trouvera divisé en deux parties égales par la seule droite D. La droite D, représentée par l’équation (i), divise donc en parties égales le segment compris entre deux sommets opposés quelconques, ou chacune des diagonales du quadrilatère proposé.
85. Remarque 11. — Cinq tangentes d’une conique étant données, le centre de la courbe est au point de concours des médianes des cinq quadrilatères formés par
(*) Deux points étant dits conjugués par rapport à une courbe du second ordre, lorsque la polaire de l'un de ces points, prise par rapport à la courbe, p-isse par l'autre.
