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les médianes des quadrilatères formés des cinq tangentes données, moins la première P,, ou la seconde Ps, ou la troisième P, ; .

Si entre les identités

et

on élimine le terme en P’ qui figure au second membre de

l’une el de l’autre , la comparaison de l’identité résultante

à l’une des premières

permet d’écrire identiquement

D, = aD -4- a, D, ,

ou

La droite D = o passe donc par le point de commune intersection de deux quelconques des droites D, D,. . .D5 = o, ou par le centre de la conique considérée.

Réciproquement, un diamètre quelconque d'une conique définie par les cinq tangentes P, P, ... P, = o peut être représenté par une équation de la’ forme

car deux des diamètres de la courbe étant

représentés par les équations

°=*-y„Pï,

et tous les diamètres concourant en un même point, un troisième diamètre quelconque sera représenté par une combinaison homogène des deux équations précédentes

«D -4- a'D' = O ou

87. Remarque IV . — La condition nécessaire et suffisante pour que six droites

P, P,. . .PSP, = o

soient tangentes à une meme conique est qu'il existe , entre les carrés des distances de toutes ces droites à un point

PROPRIÉTÉ DE SIX TANGE.NTES. y5

quelconque de leur plan, une relation linéaire et homogène

le signe = désignant toujours une identité.

Si les droites données sont d'abord six tangentes d’une même conique, l’un quelconque des diamètres D = o de cette dernière donnera lieu aux identités

et celles-ci entraînent la relation identique

Et si, d’autre part, six droites donnent lieu à une telle identité, les six coniques tangentes à cinq de ces droites ont les mêmes diamètres

le même centre, et se confondent en une même courbe tangente aux six droites considérées.

88. On peut établir géométriquement le théorème de Newton à l’aide des considérations suivantes où interviennent quelques propriétés de l’hyperboloïde à une nappe que nous aurons à utiliser dans la suite.

i° Que l’on considère d’abord le lieu des centres de tous les hyperboloïdes gauches menés par deux droites données, non situées dans un même plan.

Les deux plans, parallèles entre eux, menés suivant ces droites, font un système de deux plans tangents parallèles , communs h tous les hyperboloïdes considérés dont les centres appartiennent dès lors à un même plan parallèle aux deux précédents et équidistant de l’un et de l’autre. Le lieu actuel des centres est donc le plan parallèle à cha-

cime des droites données et équidistant de l'une et de l' autre, ou le plan médian relatif à ces droites.

20 II résulte de là que le lieu des centres des hyperboloïdes à une nappe , menés par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche , n’est autre que la commune intersection des deux plans médians relatifs aux côtés pairs ou impairs, ou la médiane de ce quadrilatère : chacun de ces plans médians contient, en efl’et, les points milieux des deux diagonales, ainsi que la droite qui les réunit.

3° Si l’on revient maintenant à la figure primitive composée d’un quadrilatère plan abcd et de l’une quelconque des ellipses inscrites; celle-ci pourra représenter l’ellipse de gorge d’un hyperboloïde auxiliaire passant par les quatre côtés d’un quadrilatère gauche ABCD, mené arbitrairement dans l'espace sous la seule condition que sa projection orthogonale sur le plan de cette ellipse coïncide avec le quadrilatère abcd. Or, le centre de cet hyperboloïde, ou le centre même de T ellipse considérée, devant se trouver à la fois sur le plan de cette ellipse et sur la médiane du quadrilatère gauche ABCD; ce centre n’est autre que la trace de celte médiane sur çe plan, c’est-à-dire un point de la projection sur le plan abcd de la médiane de ce quadrilatère gauche, ou un point de la médiane du quadrilatère projeté abcd. c. q. r. d.

89. llemarque. — Le théorème général relatif au lieu des centres des hyperboloïdes menés parles côtés d’un quadrilatère gauche 11’est donc qu’un corollaire immédiat de la situation du centre de toute surface du second ordre par rapport à deux plans tangents parallèles. La situation du centre d’une conique, à égales distances de deux tangentes parallèles, devrait donc suffire aussi à l’établissement direct du théorème de Newton. Cependant il n’en est rien, ou il paraît n’en être rien. Et la séparation que présentent, au point de vue de la démonstration , deux théorèmes