THÉORÈME DE STE1NER

pourtant si voisins, subsiste comme une singularité géométrique dont l’explication est peut-être assez cachée, mais que l’analyse peut faire disparaître, comme on le verra, en ramenant ces deux théorèmes, et plusieurs autres semblables, à ce même principe dont nous venons de parler.

90. Du lieu des centres des coniques inscrites à un triangle , et dont la somme des carrés des axes principaux est assujettie à demeurer constante.

Les côtés du triangle étant représentés par les équations

Pi Pa P, = O ,

et toutes les notations du n°83 étant conservées, la détermination du lieu actuel des centres [(ar,^) °u (P,, P», Ps)] dépendra de l’élimination des trois paramètres indépendants auxquels se réduisent les six variables a, &, ce, /3 , a', fs', entre ces quatre équations :

i» PÎ=(A,x + B,.r — tjJ’^a’fA.a-t-B.pj’-t-i’fA.a'-t-B.p')1; 2° P;z=(A,i-f-B-,> — oIl’ = a!(A1a-t-B]p)5-t-è,(A1a'-t-B..1fi')1, 3° p; = (A,x-4-B3j — <a3),==«’{A3a-4-B3p)J-t-èHAV-l-B3p')J; 4° a7 -+• b7 = k 7 = const.

Or si, désignant parX,, X,, X, trois coefficients définis parles conditions suivantes :

r X, AJ -4- X, A^ + ^Aj = l ,

(x) jx.B** x,b*h-x,b; = i,

( Xj A, B, 4- X, A , B, -4- X3 A, B3 — o,

l’on ajoute, membre à membre, les équations i°, 2°, 3° après les avoir multipliées respectivement par les nombres X,, X,, X3 : le second membre de l’équation résultante devient, en vertu des relations (X),

(a>aJ-t-a’pj) -t- (b'<>.''-i-b'p)=a'[*7+F) + b'(a'’-h

toutes les variables se trouvent éliminées, et il vient, pour

l’équation du lieu,

! — Br,)J+i,(A,J:-(-B,j) — ra,)1