THÉORÈME DE STEINER
l'équation (2) ; aussitôt du moins que l’on y suppose nulle la constante a* 4- ce qui ne change rien à la position du point cherché.
Posons, en effet,
l’équation (2) prend la forme homogène
et l’on voit bien maintenant, le cercle représenté par cette dernière équation étant conjugué au triangle P, P, Ps = o, que le centre de ce cercle coïncide avec le point de rencontre des hauteurs de ce triangle.
92. Remarque II. — La somme fies carrés des demiaxes d'une ellipse inscrite à un triangle est mesurée par la puissance du centre de la courbe par rapport au cercle conjugué à ce triangle.
Les coordonnées x, y ou P,, P„ P3 du centre de toute ellipse inscrite vérifient, en efiet, l’équation (2)
et l’on peut dire que ces coordonnées, substituées dans la fonction
du cercle conjugué au triangle, lui font acquérir une valeur simultanément égale à la somme a* 4- des carrés des demi-axes de l’ellipse considérée, et à la puissance du centre de celle-ci par rapport à ce cercle.
Si l’on appelle cercle diagonal de l’ellipse
le cercle concentrique
ayant pour rayon la diagonale du rectangle construit sur les demi-axes principaux de la courbe, le théorème précédent devient susceptible de cet autre énoncé :
Les cercles diagonaux de toutes les coniques inscrites à un même triangle sont orthogonaux à un même cercle, le cercle conjugué à ce triangle.
93. Remarque 111. — Le lieu des centres des hyperboles équilatères
inscrites à un triangle est le cercle conjugué à ce triangle. Ce cercle, d'ailleurs, est réel, se réduit à un point ou devient imaginaire, suivant que le triangle proposé est obtusangle, rectangle ou acutangle.
9<4. Remarque If^. — Les centres des hyperboles équilatères définies par quatre tangentes appartiennent à chacun des cercles conjugués des quatre triangles résultant de trois quelconques de ces tangentes. Ces quatre cercles se coupent dans les deux mêmes points, centres de deux hyperboles répondant à la question; et la droite qui les réunit, ou l’axe radical de ces cercles, se confond avec la médiane du quadrilatère résultant des tangentes données.
95. Remarque V. — Le théorème de Newton peut être considéré comme une conséquence du théorème de Steiner.
Soit, en ellet, a ’ ■+■ b ’ la somme des carrés des demi-axes de l’une quelconque des coniques tangentes aux quatre droites PjPjPjP; = o. Le centre de cette conique, appartenant, d’après ce dernier théorème, à chacun des cercles
X,l>, -t-LP’ + ^Pj = a7 + b\ f*»p; + f*>pî-t-f‘4P î = a’ + 63,
THÉORÈME DE STEINEH. 8l
appartiendra aussi à leur axe radical représenté par l’une des équations
>,Pî -4- (X,— p,)P2 -t- (X, — fts) P; — p,PJ = o,
OU
X', P* -+- X',PJ -t- X',P, -t- X',PJ = o :
et le lieu des centres n’est autre que la droite unique et déterminée représentée par cette équation.
96. Remarque VI. — Comme celui de Newton, le théorème de Sleiner peut devenir évident à l’aide de quelques considérations empruntées de la Géométrie de l’espace.
D’après le théorème de Monge, le lieu décrit par le sommet d’un trièdre trirectangle circonscrit à l’ellipsoïde (a, b,c) est une sphère concentrique ayant pour rayon la diagonale du parallèlipipèdc construit sur les trois demiaxes de l’ellipsoïde : R = yVr2 4- b* -+- c2. Or, si l’un de ( es demi-axes c diminue graduellement et tend vers zéro, le théorème subsiste toujours pour se transformer, à la limite, en celui-ci : Le lieu décrit par le sommet d'un trièdre trirectangle circonscrit à l'ellipse ( a , b ) est une sphère concentrique ayant pour rayon la diagonale du rectangle construit sur les demi-axes de l’ellipse : R = \Ja' />*. C’est, d’ailleurs , ce que l’on vérifierait, par un calcul direct, en formant l’équation générale des cônes m nés suivant la courbe
et écrivant la condition nécessaire pour que trois de s plans tangents de l’un de ces cônes forment un trièdre trirectangle. La somme des carrés des demi-axes pritn ipaux d’ une conique est donc représentée par le carre de lu distance du centre de la courbe au sommet de l'un quelconque des tnèdres trirectangles circonscrits : a* -t- h~ — oM Que l’on considère maintenant ( f g- i<>) le lien des centres odes coniques inscrites au triangle donné ARC cl dont
CHAPITHE III.
les carrés des demi-axes principaux, a’, conservent une somme constante : on verra, le triangle circonscrit ARC et le nombre \Ja' 4- b * étant donnés , qu'il en est de même
Fig. iG.
du sommet M du trièdrc trirectangle construit sur ce triangle comme base, et de la distance Mo = oW = y'a’ 4- A* de ce sommet M au centre de l’une quelconque des coniques de la série. Le lieu des centres de toutes ces coniques coïncide donc avec la section d’une sphère décrite du point M comme centre, avec un rayon égal à y a* 4- b *, par le plan ABC du triangle donné : et cette section est un cercle ayant pour centre la projection du point M sur ce plan, ou le point de rencontre H des trois hauteurs de ce triangle; ce qui est la partie essentielle du théorème deSteiner.
Mais on déduit encore, de l’égalité a* 4- b1 = oM , «»-+-** = ô îî * -t- HM ;
ou, en remarquant que le triangle «MA est rectangle en M, et que les segments Ha, HA sont, dans la figure, de sens opposés ou de signes contraires,
a ' 4- b 1 = o 'il ’ — B a . HA = oH ' — p 1 : p désignant le rayon, imaginaire dans la figure, du cercle conjugué au triangle ABC (p = ;• y/ — 1 )• Or le centre de ce cercle étant le point H lui-mèmc, la relation
THÉORÈME DE BOUILLIER •
exprime que la somme des carrés des demi-axes de toute ellipse inscrite à un triangle est mesurée par la puissance du centre o de la courbe par rapport au cercle conjugué au triangle. Et c’est aussi, comme nous l’avons vu (Remarque II) la dernière conséquence de l’cqualion (2) (p. 78).
§ II. — Du lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes aux sept, plans P,...P7 = o : ou du plan
représenté par l'équation ^ P) = o.
97. On sait que l’équation générale des plans tangents à l’ellipsoïde
rapporté à ses axes de ligure, est
«x+ (J y -4- -/z = P = ^nJ«s -f- b1^1 -t- c1y1 :
P désignant la distance du centre de la surface au plan tangent considéré; et a, (3, y les cosinus des inclinaisons, sur les axes 2 a, 2 b, 2 c de l’ellipsoïde, de la normale correspondante N. Traduisant cette équation en langage ordinaire, on peut dire que le carré de la distance du centre d'un ellipsoïde à l'un quelconque de ses plans tangents est égal à la somme des carrés des produits obtenus en multipliant chacun des demi-axes principaux «, b, c de la surface par le cosinus de l'angle formé par la direction de cet axe avec la normale correspondante N :
P1 = a 7 cos’ (N, n) -t- 6’ cos' (N, b) -J- c2 cos’ (N, c).
98. Du lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes à sept plans donnés.
Soient, relativement à un système quelconque d’axes rectangulaires,
P| Pa • . .PgP, — O
les sept plans donnés; chacune des fonctions P étant de la forme
P = A a: -f- üy -+■ Cï — ct,
84 ' chapitre ni.
où A,!}) C désignent les cosinus directeurs de la normale IS menée de l’origine au plan considéré, et a la distance de l’origine à ce plan.
Soient, en outre, z) le centre d’un ellipsoïde lan-
gent aux sept plans donnés-, a, b, c les longueurs de ses demi-axes principaux; et
a, (3, y les cosinus directeurs de l’axe a a, a, p', -/ » 2 b,
PV/" “ w.
D’après la remarque précédente, on aura celle double expression de la distance du centre de l’ellipsoïde à l’un quelconque des sept plans tangents :
P'=(Ax + Br 4- Cz — et)’
= n’cos’ ( N,«) -+- b1 cos’ (N, b) 4- c5 cos’ (N,c ) ;
ou, en développant les cosinus,
(A.x- B/ -t- C* — et)’
— a7( A a -4- B jî -4- C y -t-i’fAa'-f-Bp' 4-Cy')’
+ c!(Aa"+ Bp"-t-Cy")>.
Delà, en appliquant celte équation à chacun des plans P,,
— «’(A,a -+- B, p 4-C,yr -t- b7 (Ai a' H- B, p' 4- C, y' )* -H c7 (A, a" 4- B, P ’ 4- Ci y ’’ )*, (A,x 4- B,.r 4- C,ï — ci,)’
= a1 (A, a 4- B, p 4- C, y f 4- b‘ ( A, sl' 4- B, p’ 4- C, y')’ 4- c’ (A, a” 4- B, p" 4- C, y")’,
» ( A, x 4- B; y 4- C, z — et;}’
THÉORÈME DF, BOBILLIER. 85
et la détermination du lieu des centres (.r,ty, s) serait ramenée à l'élimination des douze variables
entre les sept, équations que l’on vient d’écrire et les six relations que l’on sait exister entre les neuf cosinus relatifs à trois directions rectangulaires (a, £>, c). Mais il arrive ici que l’élimination peut s’effectuer indépendamment de ces six relations. C’est ce qui résulte, au point de vue analytique, d’un mode particulier de symétrie que présentent les équations i°, 2°, . .., j°, et d’après lequel les quantités
et
et
et
«’ap.
et
n’Py,
PV
et
nJay,
et
entrant de la même manière dans toute combinaison de ces équations, il suffira de rendre nuis les coefficients des termes en
n1 a’, «’ y’; n1 ap, n’p y, a1 ay
dans l’équation résultant de cette combinaison, pour voir disparaître toutes les variables.
Egalant donc à zéro le coeffieîentdecliacuuede ces quantités dans l’équation qui résulterait de l’addition membre à membre des relations i°, au,..., y° après leur multiplication respective par les nombres indéterminés ï,, ).2,..., À,, il vient
A.BJ -+- A,BJ -f . . . 4- A,B3 =o,
A,C| -4-A2Cj +. . . H- >.,C= '= o ;
)i B,C, 4- X jB, Cj -f- . • . -f- A, B, C, — o ,
A, A, C, A, A,Cg -f- . . . -f- A., A,C; o .
Or si, multipliant les équations i°, a°,..., ÿ° respectivement par les nombres actuellement déterminés X,, Xs,. . X7, on les ajoute membre à membre; le second membre de l’équation résultante, ordonné par rapport aux dix-huit quantités telles que n'a*, a’fi’, n’y* ; e i’«j3 , a*Çiy, «’ay,..., a tousses coefficients nuis, en vertu des relations (X), et s’annule lui-même identiquement. L’élimination des douze variables se trouve donc effectuée, et le lieu des centres est défini par l’équation
A, ( Ai .r -t- B, y -f- Ci z — en -t- (A,x -t- B, j -j- Ci z — ci,!*
-t“ ( A, X -T" B, y -4- C; Z G I; )* ZZ2 O
Il résulte, d’ailleurs, des mêmes relations (X), que les carrés et les rectangles des coordonnées courantes x, y, z disparaissent d’eux-mèmes de celle équation, qui s'abaisse au premier degré et nous donne ce théorème :
Le Heu des centres des surfaces du second ordre tangentes aux sept plans
Pi P,. . .P7 — o
est le plan représenté par V équation
X,PJ -t-i,P| +... + i,p; = o, ou
rendue linéaire en ,r, y, z par un choix convenable des coefficients .
99. Remarque I. — On peut établir que le lieu des centres des ellipsoïdes inscrits à un octaèdre hexagonal est le plan mené par les points milieux des trois diagonales. Ce plan, rapporté à sept quelconques des faces de l’octaèdre,
THÉORÈME DE BOEILLIER. 87
peut donc être représente, de huit manières différentes, par une équation de la forme ^ PJ = o.
100. Remarque 1 1 . — Développant l’équation du plan général des centres, on trouve'
.r(X, ct, A, -+- . . ■ -4- X: ct; A,)
-4- y (X, ct, B, -f- . . . -1- X; 07 Bj )
-f- Z (X, CT, C, -f- . • -f- X; CT; C;) "4“ H O J
d’où, pour la normale même de l’origine à ce plan,
X, CT, A| -p . . . ~4- Xj CTj À7 X,CT, B, + . . . -f- 1;CTjB;
