OU
que l’on regarde comme des égalités déjà vérifiées, que ces égalités entraînent la réduction des six équations restantes en cinq équations distinctes (nos 130 et 131, p. 1 34 ) •
134. Cinq tangentes P,,..., Ps d’une parabole, neuf plans tangents P,,. . P, d'un paraboloïde donnent lieu aux identités spéciales
^ A, PJ s== const , ^ A, PJ s= consl.
Toute parabole, en effet, touche la droite à l'infini ; tout paraboloïde, le plan à l'infini représenté, ainsi que cette droite, par l’équation
C = const. = o.
§ II. — De l'identité réduite'^'' P™== o, ou de la pro-
priété d'un groupe d’éléments associés, en nombre inférieur au nombre normal.
133. Pour que des / joints , nu Pour que des droites ou des nombre de fi' +1, soient associés plans, au nombre de u' + 1, soient suivant le modulent (et dans ce associés suivant le modulent, c' estras toute courbe plane ou toute à-dire / mur que toute courbe plasurface de f ordre lit, que l'on ne, ou toute surface de la né'"* aura menée par tous ces points, classe qui sera menée tangent ielmoins un, passera d'elle -même tentent à toutes ces droites, moins par le //oint que l'on avait omis), une, ou à tous ces plans, moins il faut et il suffit qu'il existe une un, touche d'elle-mémc la droite relation linéaire et homogène ou te plan que l'on avait omis, il
faut et il suffit qu’il existe une relation linéaire et homogène
entre les puissances ni îles distances des droites ou des plans considérés à un /x/int quelconque du plan de la courbe ou de l'espace.
136. P relions, comme premier exemple, un système de neuf p oints 1 , 2, . . . , 9 dont les distances à un plan quelconque P, vérifient l'identité
et faisons voir que ces neuf points sont associés suivant le module 2 : ou que toute surface du second ordre que l’on aura menée par huit d’entre eux passera d' elle-même par le dernier.
Soit, à cet effet, S l’une de ces surfaces, menée par les points 1, 2,..., 7, 8, et sur laquelle nous prendrons au hasard deux nouveaux points x,j. Si X, Y désignent leurs distances au plan P, les distances à ce plan des dix points
entre les puissances ni des distances de tous les points considérés à un plan quelconque.
CROl'PE DE NEUF POIKTS ASSOCIÉS. l3g
1, 2,. . ., 8, a: et y donneront lieu, parle théorème fondamental, à l’identité
(I) yV'P? + "X’+iY’=o;
et si, entre cette identité et la précédente (i), on élimine le terme en Pj, on aura encore identiquement
{I') Vv,P= -t- rt'X’-H ê'Y’=o.
De là, par la réciproque du même théorème, la conclusion que les dix points
(S') 2,3,. . .,8,9, x et y
appartiennent à une même surface du second ordre S'. Mais déjà les dix points
(S) 1,2,. ..,7, 8, x et .T'-
appartiennent à la 'surface S. Les deux surfaces S, S' ont neuf points communs
2, 3,. . ., 7, 8, x et y
indépendants les uns des autres; elles coïncident, et la surface S que l’on avait menée par les huit premiers points 1 , . . . , 8 passe d’elle- même par le dernier 9.
Observation. — L’identité des deux surfaces S, S' se peut conclure légitimement de l’existence de neuf points
communs à ces surfaces, pourvu que ces neuf points n’apparlicnncnt pas à une même courbe gauche du quatrième ordre. Or cette condition négative résulte ici de la définition même des points x,j, lesquels ont été pris au hasard sur une surface menée par
Les deux courbes gauches du quatrième ordre déterminées
par les deux groupes
2, 3, . . 7, 8, x, ou 2, 3,. . 7, 8, y,
bien que tracées sur la même surface, seront dès lors distinctes en général; et l’on peut, d’ailleurs, les supposer telles explicitement.
137. Inversement, neuf points étant tels que toute surface du second ordre S que l' on aura menée parhuild’entre eux passe d' elle-même par le dernier : les distances de ces points à un plan quelconque P vérifieront l'identité
Menons, en effet, par les points 1 , 2,. . . , 7, 8, et dès lors aussi par les neuf points donnés 1 , 2, . . ., 7, 8, 9, onze surfaces distinctes du second ordre, sur chacune desquelles nous prendrons un dixième point quelconque x,, ou x,,..., ou xM. Les distances de ces nouveaux points au plan P étant désignés par X,, X,,. . ., X,, : ou bien la fonction
sera nulle identiquement; ou nous aurons, par
le théorème fondamental, les onze identités suivantes
D’ailleurs, les distances de onze points quelconques de l’espace à un plan quelconque donnent lieu à la relation identique
a , X * -4- fit X , -t- . . . -f- a, i X’, == o ; et si, entre cette identité et les précédentes, on élimine les
GIlOttPE DE nt'lT POINTS ASSOCIÉS. 1 4 (
onze carrés X’,. . . , X,’,, on a identiquement
Donc, etc.
Nous verrons que l’identité spéciale (i), relative à neuf points de l'espace associés suivant le module 2, contient la théorie des courbes gauches du quatrième ordre, la construction géométrique de ces courbes par points, de leurs tangentes, de leurs plans oscillateurs, de leurs traces sur un plan quelconque, etc.
Scolie. — Les théorèmes corrélatifs pour un groupe de neuf plans associés s’établiraient de la môme manière.
1 118. Si les dislances de huit points de l 'espace à un plan quelconque P vérifient V identité
ces huit points sont encore associés suivant le module 2; et toute surface du second ordre que l'on aura menée par sept d’entre eux passera d'elle -même par le dernier.
Soit, effectivement, S l’une de ces surfaces, menée par les points 1,. . ., 7, et sur laquelle nous prendrons au hasard trois nouveaux points x, y, z. Les distances des dix points
à un plan quelconque P, vérifiant l’identité
P? -t- oX2+ éY’-t- cZ’ = o;
si, entre cette dernière et la précédente (1), nous éliminons le terme en PJ, nous aurons encore identiquement
£\,P2 + a'X*4- i'Y2-t- c'ZJ= o.
Les dix points (S') 2, 3,..., 7,8 ;x,y,z
appartiennent donc à une même surface du second ordre S'. Les deux surfaces S, S' ont d’ailleurs neuf points communs
indépendants les uns des autres; elles coïncident, et la surface S que l’on avaitnienéc par les sept premiers 1, 2,..., 7 passe d’elle-même par le dernier 8.
Observation. ■ — L’identité des deux surfaces S, S' suppose que les neuf points
qui leur sont communs, n’appartiennent pas à une même courbe gauche du quatrième ordre; et cette supposition est effectivement comprise dans la définition des points x,y,z, lesquels ont été pris au hasard sur une surface menée par 1 , 2, . . . , 6, 7. Le point z, en général, sera donc extérieur à la courbe gauche du quatrième ordre déterminée par
et l’on peut, d’ailleurs, le supposer tel explicitement.
139. Inversement, si huit points de l'espace sont associés suivant le module 2, ou tels (pie toute surface du second ordre que l'on aura menée par sept d'entre eux passe d' elle-même par le dernier : leurs distances à un plan quelconque P vérifieront l’identité
Menons, en effet, par les points 1, 2, . . ., 7 et dès lors par les huit points donnés 1,2,..., 8, onze courbes gauches distinctes du quatrième ordre, intersections d’autant de couples de surfaces du second, passant les unes et les autres par tous les points donnés; et prenons sur chacune
APPLICATIONS
de ces courbes un neuvième point xt, ou oux„.
Chacun de ceux-ci formant avec les premiers 1,2, ...,8 un groupe de neuf points associés : ou bien la fonction
\ PJ sera nulle identiquement, ou l’on aura les onze.
identités
^V,pï— x*,.
D’ailleurs les distances de onze points à un plan quelconque satisfaisant à la relation identique
XJ -+- a, «i, X,s, = o ,
^élimination des onze carrés X’,. . ., X,*,, entre cette dernière et les précédentes, entraîne l’identité
Scolie. — Les théorèmes corrélatifs pour un groupe de huit plans associés s’établiraient de la même manière.
§ III. — Premières applications des principes précédents.
I 40. Le lieu des centres des coniques inscrites au quadrilatère P,, . . . , P;, n’est autre que la droite Q — o définie par l’identité
On a, en effet, quel que soit le nombre indéterminé h, t\ „{Q-4-A)>-(Q-è)’
L’identité qui sert de définition à la droite Q = o peut donc s’éci'i re
et l’on en conclut que les côtés du quadrilatère proposé et les deux droites Q ± h 1 = o sont tangentes à une même conique, dont le centre équidistant des deux tangentes parallèles Q ± // = o, appartient à la droite Q, équidistante de l’une et de l’autre Or tel est le cas de l’une quelconque des coniques inscrites au quadrilatère proposé; car si l’on mène à l’une quelconque de ces courbes une tangente parallèle à la droite Q, et représentée par une équation de la forme Q h = o; l’identité (t), qui est donnée, montre que la droite Q — h — o en est une sixième tangente. Donc, etc.
On peut remarquer l’analogie de la démonstration actuelle et de celle du n° 88, fondées l’une et l’antre sur la situation du centre d’une courbe, ou d’une surface du second ordre, à égale distance de deux tangentes, ou de deux plans tangents parallèles.
Corollaire I. — Soient
XY = o, X'Y'=o;
et
les côtés de deux angles droits circonscrits à une cojiique
— -K^ = i; les cercles de rayon nul ayant leurs centres
respectifs aux sommets de ces angles ; et enfin l’oxe radical de ces cercles, perpendiculaire sur le milieu de la droite qui réunit ces mêmes sommets. D’après le théorème précédent, cet axe radical, ou la droite Q = o, est le lieu des centres des coniques inscrites au quadrilatère XY X'Y'. Le centre de la conique considérée, qui est un point de celte
APPLICATIONS. l45
droite, est donc équidistant des deux points XY, X'Y', ou équidistant des sommets de deux angles droits quelconques circonscrits à la courbe ; et le lieu géométrique de tous ces sommets est le ce.rcle concentrique x’-t-V* = a1 -I- b ’.
ConoLLAiRF.il. — Si une droite se trouve représentée par une équation de la forme
cette droite est V un des diamètres de la conique inscrite au pentagone P, Ps . . .Pr,= o (n° 86, p. j3).
Corollaire 111. — Le lieu des centres des coniques inscrites au triangle P, P, P3, et dont les carrés des demiaxes principaux conservent une somme constante, est le cercle représenté par l'équation
émUi
Imaginons, en effet, une conique déterminée, maisd’aillcurs quelconque, satisfaisant à ces conditions-, et soient
o — X — .rcosa -t-^sina — p , o Y == — .rsina -h y cos a — q
les côtés d’un angle droit auxiliaire, circonscrit à celte conique, dont cinq tangentes
P, P, P, = o et XY = o
se trouvent de la sorte en évidence. Si Q = o désigne
l’axe radical du cercle > A, PJ — o, conjugué au triangle
P, P, P3 , et du cercle de rayon nul X* -4- Y* = o ayant pour centre le sommet de cet angle droit; les deux fonc-
lions cycliques \ X, P’ et X’ -)-Y’, retranchées l’une de
l’autre, fournissent l’identité
— X’ — YJ = Q.
La droite Q = o est donc, en vertu du corollaire précédent, l'un des diamètres de la conique considérée; et les coordonnées du centre de cette courbe, vérifiant l’équation Q = o de ce diamètre, vérifieront de même l’équation équivalente
Mais ces coordonnées, substituées dans la fonction partielle X’ -h Y* lui font acquérir une valeur égale à la constante donnée a'- 1-i’; ainsi que cela résulte de l’orthogonalité des deux tangentes X, Y, et du théorème relatif au lieu décrit par le sommet d’un angle droit circonscrit à une conique. Le centre de chacune des coniques considérées appartient donc au cercle représenté par l’équation
où £ à, P| désigne la fonction (x — a)1 -i - (y — (3)’ — p *
du cercle conjugué au triangle P, P, P,. Et c’est aussi ce que nous avions trouvé déjà par d’autres considérations.
141. Le lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes aux sept plans P, P, ... P, = o coïncide avec le plan Q = o déjini par l'identité
lp; = q.
On a en effet, identiquement, et quel que soit le nombre indéterminé h,
L’identité qui sert de définition au plan Q peut donc s’écrire
APPLICATIONS
On en conclut que les deux plans Q ± h = o et les sept proposés forment un groupe de neuf plans associés (n°137, p. i4o), de telle manière que toute surface du second ordre que l’on aura menée tangentiellemcnt à huit de ces plans, Pj . . . P7 et Q -t- li = o, touche d’elle-même le dernier, Q — h = o : le centre de cette surface, situé à égale distance des deux plans langeuls parallèlesQ rt h — o, appartenant, dès lors, au plan Q, équidistant de l’un et de l’autre. Or tel est le cas de l’une quelconque des surfaces menées tangentiellemcnt aux sept plans proposés. Car si l’on mène à l’une d’elles un plan langent, parallèle au plan Q, et représenté par une équation de la forme Q -+- h = o, l’identité (i"), qui esldonnée, montre que celte surface est encore tangente au plan Q — h — o. Donc, etc.
Corollaire I. — Tout plan représenté par une équation de la forme
est l’un des plans diamétraux de la surface du second ordre définie par les neuf plans tangents P, P, . . .P, = o (n° 103, p. 89).
Corollaire II. — Le lieu des centres des surfaces du second ordre inscrites à V hexaèdre P, . . . P4, et dont la somme des carrés des demi-axes principaux conserve une valeur constante , est la sphère représentée par l'équation
i, PJ = n! b' -t- c’.
Imaginons, en effet, une surface déterminée, mais d'ailleurs quelconque, satisfaisant à ces conditions-, et soient
o = X = xcosa -I- y cosfî -t- zrosy — p, o = Y = xcosa' -t- y cosB' 4- zcosy' — p’ , o—Z = x cos a." -f- y cos {S" -t- z cos -y* — p"
les plans des faces d’un trièdre trireclangle auxiliaire, cir-
CIIAP1T1IE IV.
conscrit à celte surface, dont neuf plans tangents P, P, ... Pt — o et XYZ = o
se trouvent de la sorte en évidence. Nous avons vu déjà, et il est évident, à priori , que l’on peut disposer des cinq rapports arbitraires Àf ; . . . ; ).* de telle sorte, que l’équa-
lion \ X, P’ = o représente une splière. la sphère conjuguée de l’hexaèdre P,...P«. Si donc Q = o désigne le
ru
plan radical de cette sphère, > A, PJ = o, et de la sphère
de rayon nul, X’ + ï’+Z’ = 11, avant pour centre le sommet du trièdre trircelangle déjà défini; les deux fonces»
tions sphérique» \ P| et X* -+- Y* -I- Z’, retranchées l’une de l’autre, donneront naissance à l’identité
y\p| — X’ — YJ — Z’==Q.
Le plan Q -= o est donc, par le corollaire précédent, l’un des plans diamétraux de la surface considérée. Et les coordonnées du centre de cette surface, vérifiant l'équation Q = o de ce plan, vérifieront de même l’équation équivalente
Mais ces coordonnées, substituées dans la fonction partielle X’ -+- Y* Z*, la rendent égale à la somme donnée a* -+- b' c* des carrés des demi-axes principaux de la surface : ainsi que cela résulte de l'orthogonalité des plans X, Y, Z, et du théorème de Monge sur le lieu décrit par le sommet d’un trièdre trirectangle circonscrit à l’ellipsoïde. Les coordonnées du centre de chacune des surfaces considérées vérifient donc l’équation
APPLICATIONS
où 2^ ^1 PJ désigne la fonction
[( jr — a)’ -4- (y — p)J + (s — 7 y — p’]
relative à la sphère conjuguée de l'hexaèdre P, . . . P6. Et c’est le résultat que l’on avait obtenu par d’autres considérations (n° 1 10, p. io3).
142. Le lieu des pâles d'une droite Q par rapport à toutes les coniques inscrites au quadrilatère P, . . . P», est la droite Q' = o définie par l'identité
Soit, en effet, Q -+- cQ' = o [fi g. 23) une cinquième tangente menée, à l’une quelconque de ci s coniques, par le
I'ig. 23.
As
Q— CQ'
Q' Q-fcQ'
point de concours des droites Q, Q\ L’identité précédente pouvant s’écrire
(Q-t-cQT , (Q — CQ')’
la droite Q — cQ' = o sera d’elle-iuème tangente à cette conique. Et il résulte, du faisceau harmonique formé par les quatre droites
QQ' = o, Q±cQ'=o, ou de la division harmonique
déterminée par leurs traces sur la polaire du point QQ',
i oo
que le pôle de chacune des droites Q ou Q', par rapport à la conique considérée, est situé sur l’autre. Chacune de ces droites représente donc le lieu géométrique des pôles de l’autre par rapport à toutes les coniques de la série.
Le quadrilatère P, ... Pj et la droite Q étant donnés, la droite Q' s’en déduit aisément. Il résulte, en effet, de la relation (i), que les droites Q, Q' sont conjuguées par rapport au quadrilatère proposé, dont elles divisent harmoniquement les trois diagonales. On pourra donc déduire géométriquement, des traces de l’une de ces droites sur ces diagonales, les traces de l'autre.
