PROPRIÉTÉ DE SIX TANGENTES

Une combinaison des équations (i')5 . . . , (6') se réduit donc à une identité;' et ces équations, réduites à cinq, admettent, eu A,, ... , Ae, une solution commune.

131. Inversement, si nous considérons (i (6') comme des égalités, chacune des fonctions numériques (i'),.. ., (6') étant déjà identiquement nulle, l’on a aussi identiquement

( i ' ) . a -i- ( a ') . A -+- ( 3' ) . c -t- ( 4 ' ) . rf -4- ( 5' ) . e -i- ( 6' ) / = o .

Mais celte identité, ordonnée par rapport aux coefficients A,, . . . , A6, peut s’écrire

(i).X,-t- (a).Xj . . .-t- (6) . Xt = o.

Une combinaison des équations (i),. . .. (6) se réduit donc à une identité; ces équations, réduites à cinq, admettent, en a, b, . . . , J, une solution commune. Donc, etc.

132. Passons maintenant à la proposition corrélative, et, pour nous borner encore au cas qui exige le moins de calcul, établissons seulement que pour que six droites touchent une même courbe de la seconde classe, il faut et il suffit qu'il existe une relation linéaire et homogène entre les carrés de-leurs distances à un point quelconque du plan qu'elles déterminent.

Soient, à cet effet,

a, x -4- A, y -t- i = o, a,x 4- b, y 4- I = o, . . . , asx 4- b6y 4- i = o

les six droites données. Pour exprimer, en premier lieu, qu’elles touchent une même courbe de la seconde classe, ou l’enveloppe des droites

ax 4- Aj4-i = o,

dont les paramètres a , b vérifient l’équation du second degré

(I) y(a, A) = A a’ 4- B aA 4- C AJ 4-Da4-E A 4- F = o;

i36 CHAPITRE IV.

on devra poser les six relations

(6) f(a„b,)=:Oi

et remarquant qu’elles forment autant d’équations linéaires et homogènes, par rapport aux coefficients A, B, C, D, E, F considérés comme inconnus, exprimer que ces équations admettent en A, B,..., F une solution commune : ou égaler à zéro le déterminant

Si, d’autre part, on veut exprimer l’existence d’une relation linéaire et homogène entre les carrés des distances des mêmes droites à un point quelconque [x,j) ; on devra, développant l’identité

et égalant à zéro les coefficients de chacun des termes en

*y, y\ x, x, a* ou i, exprimer que les six équations résultantes

^ Vf. b i = »,

CAS DE LA PARABOLE ET DU PARABOLOÏDE. iZ’J

admettent en X,,. . Xa une solution commune; ou égaler à zéro le déterminant

Cl 2 1^2

Or les déterminants (C), (C7) sont identiques et l’une quelconque des équations de condition (C) ou (C'), entraîne l’autre. Donc, etc.

Le cas général d’une courbe ou d’une surface de classe m se traiterait de la même manière.

133. Le théorème précédent peut encore s’établir en dehors de la notion des déterminants, et il suffit pour cela de remarquer, quelles que soient celles des relations