AB, BC, CA

le pôle de l’une quelconque des faces du trièdre, telle que

COKSTRlXTtONS DIVERSES. 187

coïncidera avec la trace de l’arête opposée 0 = A=B

sur le plan

lieu géométrique des pôles dfc plan C par rapport à toutes les surfaces conjuguées aux sept couples

Pi Pj> Pi Pj» P,P„ Pj P3 > P3P„ P,P„ AB,

et que l’un des théorèmes antérieurs (n°lG9, p. 172) nous montre comme défini par l’identité

Pi(Pi+ P3 4- P() •+■ Pi P3+ P, P, -+- P, P, = AB -+- C7.

Les traces ‘du plan auxiliaire y sur les différentes faées du tétraèdre donné 123 4 s’obtiennent d’ailleurs aisément. Et si l’on fait, par exemple,

dans les deux membres de l'identité précédente, on a encore identiquement

La droite y' est donc connue par deux de ses points qui sont ( Jig . 25) les deux dernières traces des droites A', B'

Ftc. j5.

sur une conique, circonscrite au triangle 2 3 4, et passant, en outre, par les points A'C' ou b', B'C' ou n'.

La substitution P, = o, ou une construction semblable effectuée clans le plan 8 41, nous fournirait ensuite une seconde droite du plan y, ce plan lui-même; et, par sa trace c sur l’arête c/c ( o = A=B) du trièdre donné, un premier point du plan polaire abc que jfious cherchons. Donc, etc.

184. Une droite Pet sa polaire Q, par rapport à une surface du second ordre, forment un système de deux droites que l’on peut dire conjuguées par rapport à la surface, et dont la donnée, équivalente à celle de quatre couples de plans pu de points conjugués , équivaut à quatre conditions : les points/?,, <7,;...; /?», <7* ou les plans P,, Q,;...; P4, Qt de chaque couple étant pris arbitrairement sur chacune des droites données, ou menés arbitrairement par chacune de ces droites. On peut donc se proposer le problème suivant : •

Trouver le lieu des centres des surfaces du second ordre conjuguées à deux droites P, Q et à un trièdre donné ABC = o.

La solution est d’ailleurs comprise dans le théorème gé-* néral du n°!G8, p. 172. Et puisque la donnée des droites P, Q équivaut à celle de quatre couples P, Q,, . . . , P4 Qt de plans conjugués, menés deux à deux par l’une ou l’autre de ces droites; la donnée du trièdre ABC, à celle de trois autres couples AB, BC, CA : le lieu dont il s’agit 11’est autre que le plan X, lieu géométrique des centres de toutes les surfaces conjuguées à sept couples données, et que nous savons être défini par l’identité

(?) )-i P| Q( AB -+- BC -4- CA = X.

Or nous allons voir que cette identité renferme effectivement I4 détermination du plan X. Si nous considérons, pour Éela, les deux surfaces représentées par l’une ou

con'sthuctiors diverses. 189 *

l’autre des équations (t)* ^\p,Q, = o,

(2) AB tt- BC H- CA — O*

nous reconnaîtrons immédiatement : dans la seconde, un cône circonscrit au trièdre donné ABC = o; dans la première, et parce que la fonction^ P, Q, s’annule identiquement pour chacune des substitutions

Pi...P,=o ou Q,...Q, = ô, un hyperboloïde à une nappe passant par chacune des droites P et Q.

D’ailleurs, en vertu de l’identité (*'), ce cône et cet hyperboloïde sont homothétiques; leur courbe d’intersection est située dans le plan X que l’on cherche, et bien que ces deux surfaces, prises isolément, demeurent partiellement indéterminées, chacune d’elles peut tirer, des éléments déjà connus de l’autre, des données complémentaires qui suffisent à son entière détermination : l’hyperboloïde (1) recevant du cône trois génératrices d’un même mode de génération, savoir les trois arêtes a, (5, y du trièdre ABC, transportées parallèlement à elles-mêmes en a\Ç>',y' de manière à s’appuyer sur les génératrices P et Q du deuxième mode; et le cône (2) recevant, des génératrices P et Q de l’hyperboloïde, deux nouvelles génératrices, P' et Q', menées, parallèlement à celles-là, par le sommet du cône

Fig. 36.

[fig. 26). Les deux surfaces se trouvent donc détermi-

* It)ü CHAPITRE V.

nées ; et il est facile d’obtenir trois points de leur courbe d’intersection, ou trois points du plan cherché X = o.'Le plan mené par les génératrices parallèles a, a' du cône et de l’hyperboloïde, coupant en effet fes génératrices |3', y' de ce dernier en deux points que l’on peut construire et réunir par une droite; cetleçdroile coupera la génératrice a du cône en un premier point x appartenant à l’intersection des deux surfaces ou au plan cherché X = o.dont deux autres points se détermineront de la même manière, à l’aide de deux autres plans menés parles génératrices (3 et (3', y et y' du cône et de l’hyperboloïde.

Corollaire. — Étant donnes un trièdre et un tétraèdre conjugués à une surface du second ordre , le centre de la surface est au point de concours de trois plans X, X', X " que l'on sait construire.

* 185. La même analyse s’appliquerait à la détermination du plan lieu géométrique des pôles d’un plan fixe R — o par rapport à toutes les surfaces du second ordre consignées à deux droites P, Q et à un trièdre donnés ABC = o.

Ce nouveau lieu, en effet, ne diffère pas du plan X = o défini par l’identité

2^ X, P, Q, -t- AB -+- BC -t- AC = RX.

L’hyperboîoïde à une nappe et le cône représentés par les équations

(2) AB -t- BC -t— AC ” o ,

se coupent donc suivanL deux courbes planes situées, l’une dans le plan donné R = o, l’autre dans le plan X que l’on cherche. En outre il existe encore une telle réciprocité entre les deux surfaces, que chacune d’elles peut tirer de l’autre le complément de sa détermination : l’hyperboloïde,

constructions diverses.

par exemple, recevant,.f/w> génératrices du second inode de génération, des droites a', fi', y' menées, de manière à s’appuyer sur les génératrices P, Q du premier mode, par les traces sur le plan IPdcs trois génératrices du cône dirigées suivant les arêtes a, fi, y du trièdre donné. Les deux surfaces se trouvent donc déterminées, et il est facile de définir, par trois de ses points, le plan X de leur courbe de sortie. Que l’on mène, en effet, par les génératrices concourantes «, «' des deux stirfaces, un premier plan (a, a'), et que l’on réunisse par un£ droite les traces sur ce plan des génératrices fi', y' de l’hyperboloïde : la génératrice du cône, désignée par oc, coupera la droite résultante en uil premier point x du plan cherché dont deux autres points s’obtiendront ensuite de la même manière.

Corollaire. — Étant donnés un trièdre et un tétraèdre conjugués à une surface du second ordre, le pôle relatif d'un plan quelconque R est au point de concours de trois plans X, X', que l'on sait construire.

186. Problème. — Déterminer la droite des centres de toutes les surfaces du second ordre conjuguées aux deux couples de droites P et Q, R et S : ou lu droite de commune intersection de tous les plans X = o définis par l'identité

(/) Y\p,Q,+y p.R.S.ssX,

i émJi

dans laquelle

Pi, . . . , P,î Q„ • • • , Q»; Ri>< • • ,R< ; S,, . . . , S,

désignent des faisceaux de quatre plans conduits à volonté par chacune des droites P, Q, R, S. Que l’on considère, à cet effet, les surfaces représentées par les équations

^\,P,Q, = 0, fl, R, S, = O .

On reconnaît aussitôt deux hyperboloïdes à une nappe, passant, le premier, par les droites données P et Q, le second par les droites R et S; homothétiques entre eux, d’après l’identité (1), et dont la cdurbe d’intersection est située dans l’un des plans X = o dont on cherche l’envc-

Fig. 37.

S’ rf

s\., -sUiA

loppe. D’ailleurs, bien que l’on ne connaisse à priori que deux génératrices de chacun de ces hyperboloïdes, il est aisé d’en découvrir deux autres, ou de reconnaître qu’ils passent respectivement par les côtés de deux quadrilatères gauches homothétiques (fîg- 27),

PR’QS'(ou abcil), RP'SQ' fou a b' dd'),

ayant deux de leurs côtés opposés dans les droites P et Q, R et S de l’une ou de l’autre couple, et que détermine la seule donnée de ces droites. Le problème que nous nous étions proposé se ramène donc au suivant :

Deux séries d' hyperboloïdes, homothétiques deux à deux, étant conduits respectivement par les côtés de deux quadrilatères gauches homothétiques, cl se coupant deux à deux, suivant une courbe plane : construire la droite enveloppe du plan de celte courbe.

Prenons pour origine des coordonnées le centre de similitude o des deux quadrilatères. Les plans de leurs angles

CONSTRUCTIONS DIVERSES. If)3

successifs a. b % c, d, ou a\ b \ c, d! , pourront être définis par les équations

où A, B, C, D désignent des fonctions homogènes de la forme

ax + a' y ■+■ a"z , . . . ,dr - 1- d'y ■+■ d"z,

et A le rapport de similitude des deux quadrilatères. Deux quelconques des hyperboloïdes homothétiques dont il s’agit seront représentés par les équations

et le plan de leur courbe d’intersection par la suivante :

+ l[(B + ij(D+i)-(B+l)(D+i)] = o.

Tous les plans analogues passent donc effectivement par une même droite : la droite d’intersection des deux plans

et qu'il reste seulement à définir. Or la définition du plan (4) est en évidence dans son équation : il coïncide { Jig . a8 ) avec le deuxième plan diagonal (M,M') de l’angle

Fig. 38.

✓Vf 'l ;*-1-

solide tétraèdre, à faces opposées parallèles, formé par

Ip4 CHAPITRE V.

les plans successifs des angles

des deuxquadrilatères. Ledeuxièmc plan diagonal de l’angle solide tétraèdre formé par les plans des angles

coïncide de môme avec le plan (5). Et ces deux plans diagonaux se coupent suivant la droite cherchée.

Mais on peut achever autrement et, les équations (4),(ô) simplifiées étant écrites

ou, d’une manière équivalente,

( 4X/) ( A -f- i -4- A -f- X ) -4- ( Cj -H ï -4- C -4- X j — o ,

(5tf) (B -+• i -+* B -f- X ) -H ( D -4- l -f- D -I- k ) “ o ,

ou enfin

(5”) B"-hD"—o,

reconnaître dans celles-ci les plans polaires de l’origine o, par rapport aux dièdres formés des plans des angles opposés

a" et c", b" et d"

du quadrilatère n"b"c"d" ayant pour sommets les points milieux des droites aa' , bb', ce', lid' .

La droite, lieu géométrique des centres des surfaces du second ordre conjuguées à deux couples de droites , se peut donc obtenir de la sorte :

Inscriront, aux deux droites de chaque couple, des parallèles aux droites de l'autre, on détermine d'abord le centre de similitude o et le quadrilatère médian a"b"c"d"